Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

Внутри правильного шестиугольника находится другой правильный шестиугольник с вдвое меньшей стороной.

Доказать, что центр большого шестиугольника лежит внутри малого шестиугольника.

Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа ¹/_<i>n</i> и ¹/_<i>n</i>+1 выражаются конечными десятичными дробями.

Петя приобрёл в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может по любым действительным числам <i>x</i> и <i>y</i> вычислить  <i>xy + x + y</i> + 1  и не имеет других операций. Петя хочет написать "программу" для вычисления многочлена  1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i>¹⁹⁸².  Под "программой" он понимает такую последовательность многочленов  <i>f</i>₁(<i>x</i>), ..., <i>f_n</i>(<i>x</i>),  что  <i>f</i>₁(<i>x</i>) = <i>x</i>  и для любого  <i>i</i> = 2, ..., <i>n&l...

а)<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>— длины сторон треугольника. Доказать, что<i>a</i>⁴+<i>b</i>⁴+<i>c</i>⁴− 2(<i>a</i>²<i>b</i>²+<i>a</i>²<i>c</i>²+<i>b</i>²<i>c</i>²) +<i>a</i>²<i>bc</i>+<i>b</i>²<i>ac</i>+<i>c</i>²<i>ab</i>≥ 0. б) Доказать, что<i>a</i>⁴+<i>b</i><...