Задача
а)a,b,c— длины сторон треугольника. Доказать, чтоa4+b4+c4− 2(a2b2+a2c2+b2c2) +a2bc+b2ac+c2ab≥ 0. б) Доказать, чтоa4+b4+c4− 2(a2b2+a2c2+b2c2) +a2bc+b2ac+c2ab≥ 0 для любых неотрицательныхa,b,c.
Решение
Обозначив левую часть неравенства черезf(а,b,с), заметим, чтоf(а,b,с) = (а+b+с)(аbс− (b+с−а)(а+c−b)(b+а−с)). Среди чиселb + с − а,а+с−b,b+а−сне более одного отрицательного (еслиа+b−с< 0,b+с−а< 0, то 2b< 0). Если отрицательно ровно одно из этих чисел, то их произведениенеположительнои поэтомуf(а,b,с) ≥ 0. Если же онивсе неотрицательны, тоa2b2c2≥ (a2− (b−c)2)(b2− (a−c)2)(c2− (a−b)2) = (b+c−a)2(a+c−b)2(b+a−c)2$\Longrightarrow$abc− (b+c−a)(a+c−b)(b+a−c) ≥ 0, откудaf(a,b,c) ≥ 0 при любых неотрицательныхa,b,c.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь