Олимпиадные задачи из источника «1982 год» - сложность 2 с решениями

а)<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>— длины сторон треугольника. Доказать, что<i>a</i>⁴+<i>b</i>⁴+<i>c</i>⁴− 2(<i>a</i>²<i>b</i>²+<i>a</i>²<i>c</i>²+<i>b</i>²<i>c</i>²) +<i>a</i>²<i>bc</i>+<i>b</i>²<i>ac</i>+<i>c</i>²<i>ab</i>≥ 0. б) Доказать, что<i>a</i>⁴+<i>b</i><...

Найти на плоскости точку, сумма расстояний от которой до четырёх заданных точек минимальна.

Найти все натуральные числа <i>n</i>, для которых число  <i>n</i>·2^<i>n</i> + 1  кратно 3.

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон.

Доказать, что отношение каждой диагонали к соответствующей стороне равно  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79413/problem_79413_img_2.gif">

Числа 1, 2, 3, ..., 1982 возводятся в квадрат и записываются подряд в некотором порядке.

Может ли полученное многозначное число быть полным квадратом?

Петя приобрёл в магазине вычислительный автомат, который за 5 к. умножает любое введённое в него число на 3, а за 2 к. прибавляет к любому числу 4. Петя хочет, начиная с единицы, которую можно ввести бесплатно, набрать на автомате число 1981 и затратить наименьшую сумму денег. Во сколько обойдутся ему вычисления? А что будет, если он захочет набрать число 1982?

В квадрате<i>ABCD</i>находятся 5 точек. Доказать, что расстояние между какими-то двумя из них не превосходит${\frac{1}{2}}$<i>AC</i>.

Петя купил в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может выполнять следующие операции: по любым числам<i>x</i>и<i>y</i>он вычисляет<i>x</i>+<i>y</i>,<i>x</i>−<i>y</i>и${\frac{1}{x}}$(при<i>x</i>≠ 0). Петя утверждает, что он может возвести любое положительное число в квадрат с помощью своего микрокалькулятора, сделав не более 6 операций. А вы можете это сделать? Если да, то попробуйте перемножить любые два положительных числа, сделав не более 20 операций (промежуточные результаты можно записывать, неоднократно используя их в вычислениях).