Олимпиадные задачи из источника «1963 год» для 9 класса
Найти все многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), для которых справедливо тождество: <i>xP</i>(<i>x</i> – 1) ≡ (<i>x</i> – 26)<i>P</i>(<i>x</i>).
Доказать, что из одиннадцати произвольных бесконечных десятичных дробей можно выбрать две дроби, разность которых имеет в десятичной записи либо бесконечное число нулей, либо бесконечное число девяток.
Последовательность чисел<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,...,<i>a</i><sub>n</sub>... образуется следующим образом:<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i><sub>2</sub> = 1; <i>a</i><sub>n</sub> = $\displaystyle {\frac{a_{n-1}^2+2}{a_{n-2}}}$ (<i>n</i>$\displaystyle \ge$3). </div>Доказать, что все числа в последовательности — целые.
<i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>,<i>D'</i>,<i>E'</i>— середины сторон выпуклого пятиугольника<i>ABCDE</i>. Доказать, что площади пятиугольников<i>ABCDE</i>и<i>A'B'C'D'E'</i>связаны соотношением:<div align="CENTER"> <i>S</i><sub>A'B'C'D'E'</sub>$\displaystyle \ge$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$<i>S</i><sub>ABCDE</sub>. </div>
Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.
Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую длину?
На листе бумаги нанесена сетка из<i>n</i>горизонтальных и<i>n</i>вертикальных прямых. Сколько различных замкнутых 2<i>n</i>-звенных ломаных можно провести по линиям сетки так, чтобы каждая ломаная проходила по всем горизонтальным и всем вертикальным прямым?
Доказать, что при нечётном <i>n</i> > 1 уравнение <i>x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = z<sup>n</sup></i> не может иметь решений в целых числах, для которых <i>x + y</i> – простое число.
В таблицу 9×9 вписаны все целые числа от 1 до 81. Доказать, что найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 6.
В правильном десятиугольнике провели все диагонали. Сколько попарно неподобных треугольников имеется на этом рисунке?
Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь замкнутая 14-звенная ломаная, проходящая по линиям клетчатой бумаги так, что ни на какой линии не лежит более одного звена ломаной?
Дан произвольный треугольник<i>ABC</i>и точка<i>X</i>вне его.<i>AM</i>,<i>BN</i>,<i>CQ</i>— медианы треугольника<i>ABC</i>. Доказать, что площадь одного из треугольников<i>XAM</i>,<i>XBN</i>,<i>XCQ</i>равна сумме площадей двух других.
По аллее длиной 100 метров идут три человека со скоростями 1, 2 и 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и идёт назад с той же скоростью. Доказать, что найдётся отрезок времени в 1 минуту, когда все трое будут идти в одном направлении.
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора1, 2,..., 1963, чтобы сумма никаких двух чисел не делилась на их разность?
Найти множество центров тяжести всех остроугольных треугольников, вписанных в данную окружность.
В таблицу 8×8 вписаны все целые числа от 1 до 64. Доказать, что при этом найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 5. (Соседними называются числа, стоящие в клетках, имеющих общую сторону.)
<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a<sub>n</sub></i>— произвольные натуральные числа. Обозначим через<i>b<sub>k</sub></i>количество чисел из набора<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a<sub>n</sub></i>, удовлетворяющих условию: <i>a<sub>i</sub></i>≥<i>k</i>. Доказать, что <i>a</i><sub>1</sub>+<i>a</i><sub>2</sub>+ ... +<i>a<sub>n</sub></i>=<i>b</i><sub>1</sub>+<i>b</i><sub>2</sub>+ ...
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2, ..., 1963 так, чтобы сумма каждых двух выбранных чисел делилась на 26?
<i>a, b, c</i> – такие три числа, что <i>abc</i> > 0 и <i>a + b + c</i> > 0. Доказать, что <i>a<sup>n</sup> + b<sup>n</sup> + c<sup>n</sup></i> > 0 при любом натуральном <i>n</i>.
Можно ли в прямоугольник с отношением сторон 9 : 16 вписать прямоугольник с отношением сторон 4 : 7 (так, чтобы на каждой стороне первого прямоугольника лежала вершина второго)?
Из любых четырёх точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один угол, не больший45<sup><tt>o</tt></sup>. Доказать. (Сравните с<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78481">задачей 2 для 10 класса</a>.)
<i>a, b, c</i> – любые положительные числа. Доказать, что <img width="41" height="43" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78478/problem_78478_img_2.gif"> + <img width="43" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78478/problem_78478_img_3.gif"> + <img width="43" height="43" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78478/problem_78478_img_4.gif"> ≥ <sup>3</sup>/<sub>2</sub>.
Первый член и разность арифметической прогрессии — натуральные числа. Доказать, что найдётся такой член прогрессии, в записи которого участвует цифра 9.
Лист клетчатой бумаги размером 5×<i>n</i> заполнен карточками размером 1×2 так, что каждая карточка занимает целиком две соседние клетки. На каждой карточке написаны числа 1 и –1. Известно, что произведения чисел по строкам и столбцам образовавшейся таблицы положительны. При каких <i>n</i> это возможно?
На плоскости даны 7 прямых, никакие две из которых не параллельны. Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми меньше 26°.
Решить в целых числах уравнение <i><sup>xy</sup></i>/<i><sub>z</sub> + <sup>xz</sup></i>/<i><sub>y</sub> + <sup>yz</sup></i>/<i><sub>x</sub></i> = 3.