Задачи и олимпиады по математике

Задача

Можно ли в прямоугольник с отношением сторон 9 : 16 вписать прямоугольник с отношением сторон 4 : 7 (так, чтобы на каждой стороне первого прямоугольника лежала вершина второго)?

Решение

Ответ:нет, нельзя. Докажем, что если прямоугольник с отношением сторон$\lambda$< 1 вписан в прямоугольник с отношением сторон$\mu$< 1, то$\mu$$\ge$$\lambda$. Пусть вершиныA₁,B₁,C₁,D₁одного прямоугольника лежат на сторонахAB,BC,CD,DAдругого прямоугольника. Тогда середина отрезкаA₁C₁лежит на отрезке, соединяющем середины сторонBCиAD, а середина отрезкаB₁D₁лежит на отрезке, соединяющем середины сторонABиCD. Поэтому центры прямоугольников совпадают.

ПустьAD₁=x,AA₁=y. Из подобия треугольниковA₁AD₁иB₁BA₁следует, чтоA₁B=$\lambda$xиBB₁=$\lambda$yдля некоторого$\lambda$. Ясно, что$\lambda$=A₁B₁:A₁D₁. Далее,

$\displaystyle {\frac{AD}{AB}}$ - $\displaystyle \lambda$ = $\displaystyle {\frac{x+\lambda y}{y+\lambda x}}$ - $\displaystyle \lambda$ = $\displaystyle {\frac{(1-\lambda ^2)y}{x+\lambda y}}$ > 0

при$\lambda$< 1. Аналогично

$\displaystyle {\frac{AB}{AD}}$ - $\displaystyle \lambda$ = $\displaystyle {\frac{y+\lambda x}{x+\lambda y}}$ - $\displaystyle \lambda$ = $\displaystyle {\frac{(1-\lambda ^2)y}{x+\lambda y}}$ > 0.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления