Задача
Последовательность чиселa1,a2,...,an... образуется следующим образом:
a1 = a2 = 1; an = $\displaystyle {\frac{a_{n-1}^2+2}{a_{n-2}}}$ (n$\displaystyle \ge$3).
Доказать, что все числа в последовательности — целые.
Решение
Докажем индукцией по nравенство an= 4an - 1-an - 2. Проверка базы индукции при n= 3, 4 оставляется читателю в качестве упражнения. Докажем шаг индукции. Пусть при всех 2 <n<Nдоказываемое утверждение выполняется. Тогда
| aN = $\displaystyle {\frac{a_{N-1}^2+2}{a_{N-2}}}$ = $\displaystyle {\frac{(4a_{N-2}-a_{N-3})^2+2}{a_{N-2}}}$ = 16aN - 2 - 8aN - 3 + $\displaystyle {\frac{a_{N-3}^2+2}{a_{N-2}}}$. |
Так как aN - 2=${\frac{a_{N-3}^2+2}{a_{N-4}}}$, последнее слагаемое равно aN - 4. Следовательно,
| aN = 16aN - 2 - 8aN - 3 + aN - 4 = 4(4aN - 2 - aN - 3) - (4aN - 3 - aN - 4) = 4aN - 1 - aN - 2, |
что и требовалось.
Итак, при всех натуральных nвыполнено равенство an= 4an - 1-an - 2, а значит, все числа последовательности целые.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет