Пусть O – центр описанной окружности, а M – центр тяжести остроугольного треугольника ABC, A₁ – середина BC. Отложим на луче OM отрезок  OH = 3OM.  Тогда треугольники OMA₁ и HMA подобны по первому признаку  (OM : MH = MA₁ : MA = 1 : 2,  ∠OMA₁ = ∠HMA).  Значит,  ∠OA₁M = ∠HAM.  Поэтому   OA₁ || AH,  а значит, AH – высота. Аналогично доказывается, что BH и CH – высоты, то есть H – точка пересечения высот треугольника ABC. В остроугольном треугольнике точка H должна лежать внутри него. Поэтому  OH < R,  следовательно,  OM = ⅓ OH < ^R/₃. Таким образом, всё искомое ГМТ содержится во внутренности круга радиуса ^R/₃ с центром в точке O.

  Докажем, что каждая точка внутренности упомянутого круга является центром тяжести некоторого остроугольного треугольника, вписанного в данную окружность. В самом деле, если M совпадает с O, то подходит правильный треугольник. Если же M лежит строго внутри круга радиуса ^R/₃ и не совпадает с O, то возьмём в качестве вершины A точку пересечения луча MO с данной окружностью, построим точку A₁ так, что A₁ лежит на продолжении отрезка AM за точку M и  MA₁ = ½ MA,  затем проведём через точку A₁ прямую BC, перпендикулярную AA₁. Треугольник ABC будет остроугольным, так как его точка пересечения высот H будет лежать внутри него.

Внутренность круга радиуса ^R/₃ с центром в центре исходной окружности.