Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 2 тур»

Система точек, соединённых отрезками, называется "связной", если из каждой точки можно пройти в любую другую по этим отрезкам. Можно ли соединить пять точек в связную систему так, чтобы при стирании любого отрезка образовались ровно две связные системы точек, не связанные друг с другом? (Мы считаем, что в местах пересечения отрезков переход с одного из них на другой невозможен.)

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2, ..., 1963 так, чтобы сумма каждых двух выбранных чисел делилась на 26?

Дан произвольный треугольник<i>ABC</i>и такая прямая<i>l</i>, пересекающая треугольник, что расстояние от неё до точки<i>A</i>равно сумме расстояний до этой прямой от точек<i>B</i>и<i>C</i>(причем<i>B</i>и<i>C</i>лежат по одну сторону от<i>l</i>). Доказать, что все такие прямые проходят через одну точку.

Завод выпускает погремушки в виде кольца с надетыми на него тремя красными и семью синими шариками. Сколько различных погремушек может быть выпущено? (Две погремушки считаются одинаковыми, если одна из них может быть получена из другой только передвижением шариков по кольцу и переворачиванием.)