Задача
Дан произвольный треугольникABCи точкаXвне его.AM,BN,CQ— медианы треугольникаABC. Доказать, что площадь одного из треугольниковXAM,XBN,XCQравна сумме площадей двух других.
Решение
Пустьa,b,c,x– векторы, идущие из точки пересечения медиан треугольникаABCв точкиA,B,CиXсоответственно. Тогда ориентированные площади треугольниковXAM,XBNиXCQравны проекциям векторных произведений [a-x,a-(b+c)/2]/2 [b-x,b-(a+c)/2]/2 и [c-x,c-(b+a)/2]/2 соответственно на перпендикуляр к плоскости треугольника. Из равенстваa+b+c=0 легко получаем, что сумма этих трех проекций равна нулю. Значит, сумма ориентированных площадей наших треугольников также равна нулю. Значит, сумма модулей каких-то двух площадей равна модулю третьей. Замечание. Условие, что X лежит вне треугольника ABC – лишнее.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь