Если тройка чисел x, y, z является решением уравнения, то либо все числа x, y, z положительны, либо одно из них положительно, а два другие – отрицательны (иначе правая часть будет отрицательной). Если тройка чисел x, y, z является решением, то, изменив знак у любых двух чисел из этой тройки, мы снова получим решение уравнения. Отсюда следует, что можно ограничиться рассмотрением только положительных решений.

  Перепишем уравнение в виде  2x²y² + 2x²z² + 2y²z² = 6xyz.  Имеем:  6xyz = (x²y² + x²z²) + (x²y² + y²z²) + (x²z² + y²z²) ≥ 2x²yz + 2y²xz + 2z²xy = 2xyz(x + y + z),  так что  x + y + z ≤ 3.

  Так как x, y, z – натуральные числа, то единственным положительным решением уравнения является тройка:  x = y = z = 1.

(1, 1, 1),  {1, –1, –1}.