Олимпиадные задачи из источника «1958 год» для 9 класса

Обозначим через<i>a</i>наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно полностью покрыть заданный многоугольник<i>M</i>, через<i>b</i>— наибольшее число непересекающихся кругов радиуса 1 с центрами внутри многоугольника<i>M</i>. Какое из чисел больше,<i>a</i>или<i>b</i>?

Решить в натуральных числах уравнение  <i>x</i>^{2<i>y</i>–1} + (<i>x</i> + 1)^{2<i>y</i>–1} = (<i>x</i> + 2)^{2<i>y</i>–1}.

Обозначим через<i>a</i>наибольшее число непересекающихся кругов диаметра 1, центры которых лежат внутри многоугольника<i>M</i>, через<i>b</i>— наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно покрыть весь многоугольник<i>M</i>.

Какое число больше:<i>a</i>или<i>b</i>?

Доказать, что если целое  <i>n</i> > 1,  то  1¹·2²·3³·...·<i>nⁿ < n</i>^{<i>n</i>(<i>n</i>+1)/2}.

Внутри угла <i>AOB</i> взята точка <i>C</i>, опущены перпендикуляры <i>CD</i> на сторону <i>OA</i> и <i>CE</i> на сторону <i>OB</i>. Затем опущены перпендикуляры <i>EM</i> на сторону <i>OA</i> и <i>DN</i> на сторону <i>OB</i>. Доказать, что  <i>OC</i> ⊥ <i>MN</i>.

Для любых чисел <i>a</i>₁ и <i>a</i>₂, удовлетворяющих условиям  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ = 1,  можно найти такие числа <i>b</i>₁ и <i>b</i>₂, что  <i>b</i>₁ ≥ 0,  <i>b</i>₂ ≥ 0,  <i>b</i>₁ + <i>b</i>₂ = 1,

(⁵/₄ – <i>a</i>₁)<i>b</i>₁...

Из бумаги вырезан многоугольник. Две точки его границы соединяются отрезком, по которому многоугольник складывается. Доказать, что периметр многоугольника, получающегося после складывания, меньше периметра исходного многоугольника.

Сторона клетки клетчатой бумаги равна 1. По линиям сетки построен прямоугольник со сторонами <i>m</i> и <i>n</i>. Можно ли в прямоугольнике провести по линиям сетки замкнутую ломаную, которая ровно один раз проходила бы через каждый узел сетки, расположенный внутри или на границе прямоугольника? Если можно, то какова её длина?

Доказать, что если целое  <i>n</i> > 2,  то  (<i>n</i>!)² > <i>nⁿ</i>.

Каждая грань куба заклеивается двумя равными прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой, один из которых белый, другой — чёрный. Можно ли эти треугольники расположить так, чтобы при каждой вершине куба сумма белых углов была равна сумме чёрных углов?

Имеются два набора из чисел 1 и –1, в каждом по 1958 чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно превратить первый набор во второй, если на каждом шагу разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)

Доказать, что на плоскости нельзя расположить больше четырёх выпуклых многоугольников так, чтобы каждые два из них имели общую сторону.

На плоскости даны четыре прямые, из которых никакие две не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке. По каждой прямой с постоянной скоростью идёт пешеход. Известно, что первый встречается со вторым, с третьим и с четвёртым, а второй встречается с третьим и с четвёртым. Доказать, что третий пешеход встретится с четвёртым.

Доказать, что  1155¹⁹⁵⁸ + 34¹⁹⁵⁸ ≠ <i>n</i>²,  где <i>n</i> – целое.

Отрезок длиной 3ⁿразбивается на три равные части. Первая и третья из них называются отмеченными. Каждый из отмеченных отрезков разбивается на три части, из которых первая и третья снова называются отмеченными и т.д. до тех пор, пока не получатся отрезки длиной 1. Концы всех отмеченных отрезков называются отмеченными точками. Доказать, что для любого целого<i>k</i>(1$\le$<i>k</i>$\le$3ⁿ) можно найти две отмеченные точки, расстояние между которыми равно<i>k</i>.

Решить в целых положительных числах уравнение

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/78143/problem_78143_img_2.gif"></div>

Доказать, что если  |<i>ax</i>² – <i>bx + c</i>| < 1  при любом <i>x</i> из отрезка  [–1, 1],  то и  |(<i>a + b</i>)<i>x</i>² + <i>c</i>| < 1  на этом отрезке.

Бесконечная плоская ломаная<i>A</i>₀<i>A</i>₁...<i>A</i>_n..., все углы которой прямые, начинается в точке<i>A</i>₀с координатами<i>x</i>= 0,<i>y</i>= 1 и обходит начало координат<i>O</i>по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную длину. Расстояние<i>OA</i>_n=<i>l</i>_n. Сумма длин первых<i>n</i>звеньев ломаной равна<i>s</i>_n. До...

Проекции многоугольника на ось<i>OX</i>, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось<i>OY</i>и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов равны соответственно 4, 3$\sqrt{2}$, 5, 4$\sqrt{2}$. Площадь многоугольника —<i>S</i>. Доказать, что<i>S</i>$\le$17, 5.

Решить в натуральных числах уравнение <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78138/problem_78138_img_2.gif"></div>

На круглой поляне радиуса<i>R</i>растут три круглые сосны одинакового диаметра. Центры их стволов находятся на расстоянии${\frac{R}{2}}$от центра поляны в вершинах равностороннего треугольника. Два человека, выйдя одновременно из диаметрально противоположных точек поляны, обходят поляну по краю с одинаковой скоростью и в одном направлении и всё время не видят друг друга. Увидят ли друг друга три человека, если они так же будут обходить поляну, выйдя из точек, находящихся в вершинах вписанного в поляну правильного треугольника?

Доказать, что если уравнения с целыми коэффициентами  <i>x</i>² + <i>p</i>₁<i>x + q</i>₁,  <i>x</i>² + <i>p</i>₂<i>x + q</i>₂  имеют общий нецелый корень, то  <i>p</i>₁ = <i>p</i>₂  и  <i>q</i>₁ = <i>q</i>₂.

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>O</i>. На лучах <i>OA</i>, <i>OB</i> и <i>OC</i> построены векторы единичной длины.

Доказать, что сумма этих векторов имеет длину, меньшую единицы.

Дана следующая треугольная таблица чисел: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78134/problem_78134_img_2.gif"></div>Каждое число (кроме чисел верхней строчки) равно сумме двух ближайших чисел предыдущей строчки. Доказать, что число, стоящее в самой нижней строчке, делится на 1958.

На плоскости даны точки<i>A</i>и<i>B</i>. Построить такой квадрат, чтобы точки<i>A</i>и<i>B</i>лежали на его границе и сумма расстояний от точки<i>A</i>до вершин квадрата была наименьшей.