Задачи и олимпиады по математике

Задача

Проекции многоугольника на осьOX, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, осьOYи биссектрису 2-го и 4-го координатных углов равны соответственно 4, 3$\sqrt{2}$, 5, 4$\sqrt{2}$. Площадь многоугольника —S. Доказать, чтоS$\le$17, 5.

Решение

Для каждой из четырёх данных проекций многоугольника рассмотрим полосу, состоящую из точек, которые проецируются на данную проекцию. Каждая граница такой полосы пересекает все остальные полосы, поскольку иначе проекция многоугольника была бы меньше, чем нужно. Поэтому данный многоугольник лежит внутри фигуры, которая получается при отрезании от прямоугольника размером 4×5 треугольников со сторонамиa, 3 -a,bи 1 -b. Сумма площадей отрезанных треугольников равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(3 - a)² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$b² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(1 - b)² = (a - $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$)² + $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{4}}$ + (b - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$)² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \ge$$\displaystyle {\textstyle\frac{10}{4}}$ = 2, 5.

Поэтому площадь фигуры не превосходит20 - 2, 5 = 17, 5.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления