Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 2 тур»

Между зажимами <i>A</i> и <i>B</i> включено несколько сопротивлений. Каждое сопротивление имеет входной и выходной зажимы. Какое наименьшее число сопротивлений необходимо иметь и какова может быть схема их соединения, чтобы при порче любых девяти сопротивлений цепь оставалась соединяющей зажимы <i>A</i> и <i>B</i>, но не было короткого замыкания? (Порча сопротивления: короткое замыкание или обрыв.)

Обозначим через<i>a</i>наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно полностью покрыть заданный многоугольник<i>M</i>, через<i>b</i>— наибольшее число непересекающихся кругов радиуса 1 с центрами внутри многоугольника<i>M</i>. Какое из чисел больше,<i>a</i>или<i>b</i>?

Игральная доска имеет форму ромба с углом 60°. Каждая сторона ромба разделена на девять частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам и малой диагонали ромба, разбивающие доску на треугольные клетки. Если на некоторой клетке поставлена фишка, проведём через эту клетку три прямые, параллельные сторонам и малой диагонали ромба. Клетки, которые они пересекут, будут считаться побитыми фишкой. Каким наименьшим числом фишек можно побить все клетки доски?

Провести из точки<i>O</i><i>n</i>лучей на плоскости так, чтобы сумма всех попарных углов между ними была наибольшей. (Рассматриваются только углы, не превышающие180^<tt>o</tt>.)

Решить в натуральных числах уравнение  <i>x</i>^{2<i>y</i>–1} + (<i>x</i> + 1)^{2<i>y</i>–1} = (<i>x</i> + 2)^{2<i>y</i>–1}.