Заметим, что координаты вектора$\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$равны$\left(\vphantom{\pm \frac{l}{\sqrt2},\pm\frac{l}{\sqrt2}}\right.$±${\frac{l}{\sqrt2}}$,±${\frac{l}{\sqrt2}}$$\left.\vphantom{\pm \frac{l}{\sqrt2},\pm\frac{l}{\sqrt2}}\right)$, гдеl — длина этого вектора, целое число. Следовательно, координаты любой точкиA_iимеют вид$\left(\vphantom{\frac{n}{\sqrt2},1+\frac{m}{\sqrt2}}\right.$${\frac{n}{\sqrt2}}$, 1 +${\frac{m}{\sqrt2}}$$\left.\vphantom{\frac{n}{\sqrt2},1+\frac{m}{\sqrt2}}\right)$, гдеm,n — целые числа.

Далее, индукцией поnдокажем, что точкаA_4nимеет координаты(0, 1 +n$\sqrt{2}$), точкаA_{4n + 1} — координаты((n+ 1)$\sqrt{2}$, 1 -$\sqrt{2}$), точкаA_{4n + 2} — координаты(0, 1 - (n+ 2)$\sqrt{2}$), а точкаA_{4n + 3} — координаты$\left(\vphantom{-\frac{2n+3}{\sqrt2},1-\frac1{\sqrt2}}\right.$-${\frac{2n+3}{\sqrt2}}$, 1 -${\frac{1}{\sqrt2}}$$\left.\vphantom{-\frac{2n+3}{\sqrt2},1-\frac1{\sqrt2}}\right)$.

Отсюда следует, чтоs_{4(n + 1)}=s_4n+ |A_4nA_{4n + 1}| + |A_{4n + 1}A_{4n + 2}| + |A_{4n + 2}A_{4n + 3}| + |A_{4n + 3}A_{4n + 4}| =s_4n+ (2n+ 2) + (2n+ 2) + (2n+ 3) + (2n+ 3) =s_4n+ (8n+ 10). Следовательно,s_{4n + 4}-s_4n> 8(n+ 1), откудаs_4n>$\sum_{k=1}^{n}$8n= 4n(n+ 1) > 4n². С другой стороны,l_4n= |OA_4n| = 1 +n$\sqrt{2}$< 2n+ 1 < 3n(приn$\ge$1). Следовательно,${\frac{s_n}{l_n}}$>${\frac{4n}{3}}$>n> 1958 приn> 1958.

Ответ задачи отсутствует