При решении этой задачи удобно считать, что четырёхугольник составлен из двух треугольников, поэтому введём следующие обозначения:ACBC'— данный четырёхугольник,A₁иB₁— точки касания со сторонамиBCиAC,A₁' иB₁' — точки касания со сторонамиBC'иAC',C₁иC₁' — точки, в которых прямыеA₁B₁иA₁'B₁' пересекают прямуюAB(точкиC₁иC₁' определены лишь в том случае, когда соответствующие прямые не параллельны).

ЕслиA₁B₁|AB, тоAB₁:BA₁=B₁C:A₁C= 1. ПоэтомуAB₁=BA₁, а значит,AB₁' =BA₁', посколькуAB₁=AB₁' иBA₁=BA₁'. Таким образом,A₁'B₁'|AB.

Будем теперь считать, что точкиC₁иC₁' определены; нужно доказать, что они совпадают. Согласно теореме Менелая${\frac{AC_1}{C_1B}}$ ^. ${\frac{BA_1}{A_1C}}$ ^. ${\frac{CB_1}{B_1A}}$= 1. Учитывая, чтоA₁C=B₁C, получаемAC₁:C₁B=AB₁:A₁B. АналогичноAC₁' :C₁'B=AB₁' :A₁'B. НоAB₁=AB₁' иBA₁=BA₁'. ПоэтомуAC₁:C₁B=AC₁' :C₁'B, а значит,C₁=C₁', поскольку обе эти точки лежат вне отрезкаAB.

Ответ задачи отсутствует