Олимпиадные задачи из источника «1956 год» для 9 класса
В кубе, ребро которого равно 13, выбрано 1956 точек. Можно ли в этот куб поместить кубик с ребром 1 так, чтобы внутри него не было ни одной выбранной точки?
В прямоугольнике площадью 5 кв. единиц расположены девять прямоугольников, площадь каждого из которых равна единице. Докажите, что площадь общей части некоторых двух прямоугольников больше или равна 1/9.
100 чисел, среди которых есть положительные и отрицательные, выписаны в ряд. Подчеркнуто, во-первых, каждое положительное число, во-вторых, каждое число, сумма которого со следующим положительна, и, в-третьих, каждое число, сумма которого с двумя следующими положительна. Может ли сумма всех подчеркнутых чисел оказаться отрицательной? Равной нулю?
Все точки данного отрезка<i>AB</i>проектируются на всевозможные прямые, проходящие через данную точку<i>O</i>. Найти геометрическое место этих проекций.
64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на двух диагоналях, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно любой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в любой строке меньше 518.
Груз весом 13,5 т упакован в ящики так, что вес каждого ящика не превосходит 350 кг. Докажите, что этот груз можно перевезти на 11 полуторатонках. (Весом пустого ящика можно пренебречь.)
На столе лежат 15 журналов, закрывающих его целиком. Докажите, что можно забрать семь журналов так, чтобы оставшиеся журналы закрывали не меньше 8/15 площади стола.
(<i>Эту задачу не решил никто из участников олимпиады</i>.)
64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в каждом столбце меньше 1035.
100 чисел, среди которых есть положительные и отрицательные, выписаны в ряд. Подчеркнуто, во-первых, каждое положительное число, а во-вторых, каждое число, сумма которого со следующим положительна. Может ли сумма всех подчеркнутых чисел оказаться отрицательной? Равной нулю?
Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>4</sub>, <i>A</i><sub>5</sub>, <i>A</i><sub>6</sub> делят окружность радиуса 1 на шесть равных частей. Из <i>A</i><sub>1</sub> провёден луч <i>l</i><sub>1</sub> в направлении <i>A</i><sub>2</sub>, из <i>A</i><sub>2</sub> – луч <i>l</i><sub>2</sub> в направлении <i>A</i><sub>3</sub>, ..., из <i>A</i><sub>6</sub> – луч <i>l</i><sub>6</sub> в направлении <i>A</i><s...
Точка<i>O</i>— центр круга, описанного около треугольника<i>ABC</i>. Точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>симметричны точке<i>O</i>относительно сторон треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что все высоты треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>проходят через точку<i>O</i>, а все высоты треугольника<i>ABC</i>проходят через центр круга, описанного около треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>.
На клетчатой бумаге написана таблица, причём в каждой клетке стоит число, равное среднему арифметическому четырёх чисел, стоящих в соседних клетках. Все числа в таблице различны. Докажите, что наибольшее число стоит с края (то есть по крайней мере одна из соседних клеток отсутствует).
Пусть <i>a, b, c, d, l</i> – целые числа. Докажите, что если дробь <img width="34" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78068/problem_78068_img_2.gif"> сократима на число <i>k</i>, то <i>ad – bc</i> делится на <i>k</i>.
На окружности длины 15 выбрано<i>n</i>точек, так что для каждой имеется ровно одна выбранная точка на расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2 (расстояние измеряется по окружности). Докажите, что<i>n</i>делится на 10.
В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с третьего знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0, 01). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?
На сторонах<i>AB</i>и<i>CB</i>треугольника<i>ABC</i>откладываются равные отрезки произвольной длины<i>AD</i>и<i>CE</i>. Найти геометрическое место середин отрезков<i>DE</i>.
Какое наименьшее число точек можно выбрать на окружности длины 1956 так, чтобы для каждой из этих точек нашлась ровно одна выбранная точка на расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2 (расстояния измеряются по окружности)?
Найти все числа, на которые может быть сократима при целом значении <i>l</i> дробь <img width="35" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78063/problem_78063_img_2.gif">.
Имеется замкнутая самопересекающаяся ломаная. Известно, что она пересекает каждое свое звено ровно один раз. Докажите, что число звеньев чётно.
Найти все двузначные числа, сумма цифр которых не меняется при умножении числа на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
Докажите, что не существует на плоскости четырех точек<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>D</i>таких, что все треугольники<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>CDA</i>,<i>DAB</i>остроугольные.