Задача
ТочкаO— центр круга, описанного около треугольникаABC. ТочкиA1,B1иC1симметричны точкеOотносительно сторон треугольникаABC. Докажите, что все высоты треугольникаA1B1C1проходят через точкуO, а все высоты треугольникаABCпроходят через центр круга, описанного около треугольникаA1B1C1.
Решение
ПустьA2,B2,C2— середины сторонCB,BA,AC. Ясно, чтоOA2$\bot$BCиBC || B2C2 || B1C1. ПоэтомуOA1$\bot$B1C1, т.е.OA1— высота треугольникаA1B1C1. Аналогично доказывается, чтоOB1иOC1тоже являются высотами.
Ясно также, чтоB1C1= 2B2C2=BC, поэтомуBCB1C1— параллелограмм. Это означает, что отрезкиBB1иCC1пересекаются в точкеP, которая является их серединой. Аналогично доказывается, что точкаPявляется серединой отрезкаAA1. Таким образом, при симметрии относительно точкиPтреугольникABCпереходит в треугольникA1B1C1. При этой симметрии точкаO, которая является центром описанной окружности треугольникаABCи точкой пересечения высот треугольникаA1B1C1, переходит в точку, которая является центром описанной окружности треугольникаA1B1C1и точкой пересечения высот треугольникаABC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь