Задача
В треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона квадрата меньше 2r, но больше$\sqrt{2}$r, гдеr— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Решение
Пусть две вершины рассматриваемого квадрата лежат на сторонеAB. ОкружностьS1, вписанная в этот квадрат, касается стороныABи расположена строго внутри данного треугольникаABC(она заведомо не касается сторонACиBC). Поэтому существует треугольникA1B1C1, стороны которого параллельны сторонам треугольникаABCи касаются окружностиS1, а сам он расположен внутри треугольникаABC, причём не совпадает с ним. Следовательно, радиус окружностиS1меньшеr. Но сторона квадрата равна удвоенному радиусу окружностиS1.
Рассмотрим теперь окружностьS2, описанную вокруг квадрата. Она имеет общую точку с каждой стороной треугольникаABC, причём по крайней мере стороныABона не касается. Поэтому существует треугольникA2B2C2, стороны которого параллельны сторонам треугольникаABCи касаются окружностиS2, а сам он содержит треугольникABC, причём не совпадает с ним. Следовательно, радиус окружностиS2большеr. Но сторона квадрата равна радиусу окружностиS2, умноженному на$\sqrt{2}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь