Олимпиадные задачи из источника «2004/2005» для 8 класса - сложность 1-4 с решениями

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

Отметьте на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось ровно три точки.

На шахматной доске 8×8 расставлено наибольшее возможное число слонов так, что никакие два слона не угрожают друг другу.

Доказать, что число всех таких расстановок есть точный квадрат.

Сколько квадратов со сторонами по линиям сетки можно нарисовать на доске 8×8?

Докажите, что число способов расставить на шахматной доске максимальное число ферзей чётно.

Какое максимальное число ферзей, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске 8×8?

Какое максимальное число королей, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске 8×8?

Сколькими способами можно расставить чёрную и белую ладьи на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

В центре круглого бассейна плавает ученик. Внезапно к бассейну подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?

Расшифровать пример на умножение, если буквой Ч зашифрованы чётные числа, а буквой Н – нечётные. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102865/problem_102865_img_2.gif"></div>

Какие буквы соответствуют цифрам частного? Восстановите все цифры, если с = 7. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102864/problem_102864_img_2.gif"></div>

Восстановите пример на умножение <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102863/problem_102863_img_2.gif"></div>

<b>Умножение чисел.</b>Восстановите пример на умножение натуральных чисел, если известно, что сумма цифр у обоих сомножителей одинакова. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102862/problem_102862_img_2.gif"></div>

Можно ли в прямоугольник 5×6 поместить прямоугольник 3×8?

Может ли быть верным равенство  К×О×Т = У×Ч×Е×Н×Ы×Й,  если вместо букв в него подставить цифры от 1 до 9 (разным буквам соответствуют разные цифры)?

Подсчитать сумму цифр числа (999..99)³(в скобке 2002 девятки).

Найти сумму 1 + 2002 + 2002²+ ... + 2002^<i>n</i>.

Решите уравнение  12<i>a</i> + 11<i>b</i> = 2002  в натуральных числах.

Решите уравнение в целых числах  <i>m</i>² − <i>n</i>² = 2002.

На какие простые числа, меньшие 17, делится число  2002²⁰⁰² − 1?

<b>Из треугольника прямоугольник.</b>Разрежьте произвольный треугольник на три части, из которых можно сложить прямоугольник.

<b>Режем прямоугольник.</b>Разрежьте прямоугольник 7 × 15 на фигурки <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102850/problem_102850_img_2.gif" border="1"></div>

<b>Режем буквой Т.</b>Разрежьте фигуру на буквы Т (фигура и буква Т изображены на рисунке). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102848/problem_102848_img_2.gif" border="1"></div>

<b>Вырезаем из прямоугольника.</b>Из прямоугольника 13 × 7 вырежьте 15 прямоугольников 2 × 3.

Клетки квадратной таблицы 15×15 раскрашены в красный, синий и зелёный цвета.

Докажите, что найдутся, по крайней мере, две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.