Олимпиадные задачи из источника «2004/2005» для 7 класса - сложность 2 с решениями

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

Отметьте на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось ровно три точки.

На шахматной доске 8×8 расставлено наибольшее возможное число слонов так, что никакие два слона не угрожают друг другу.

Доказать, что число всех таких расстановок есть точный квадрат.

Докажите, что число способов расставить на шахматной доске максимальное число ферзей чётно.

Какое максимальное число ферзей, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске 8×8?

Какое максимальное число королей, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске 8×8?

В центре круглого бассейна плавает ученик. Внезапно к бассейну подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?

Какие буквы соответствуют цифрам частного? Восстановите все цифры, если с = 7. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102864/problem_102864_img_2.gif"></div>

Восстановите пример на умножение <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102863/problem_102863_img_2.gif"></div>

<b>Умножение чисел.</b>Восстановите пример на умножение натуральных чисел, если известно, что сумма цифр у обоих сомножителей одинакова. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102862/problem_102862_img_2.gif"></div>

Подсчитать сумму цифр числа (999..99)³(в скобке 2002 девятки).

Найти сумму 1 + 2002 + 2002²+ ... + 2002^<i>n</i>.

Решите уравнение  12<i>a</i> + 11<i>b</i> = 2002  в натуральных числах.

Решите уравнение в целых числах  <i>m</i>² − <i>n</i>² = 2002.

На какие простые числа, меньшие 17, делится число  2002²⁰⁰² − 1?

<b>Режем прямоугольник.</b>Разрежьте прямоугольник 7 × 15 на фигурки <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102850/problem_102850_img_2.gif" border="1"></div>

Клетки квадратной таблицы 15×15 раскрашены в красный, синий и зелёный цвета.

Докажите, что найдутся, по крайней мере, две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.

<b>Сравнение площадей.</b>Точки E и F — середины сторон BC и CD квадрата ABCD. Отрезки AE и BF пересекаются в точке K. Что больше: площадь треугольника AKF или площадь четырехугольника KECF?

<b>Два взвешивания.</b>Имеется 7 внешне одинаковых монет, среди которых 5 настоящих (все — одинакового веса) и 2 фальшивых (одинакового между собой веса, но легче настоящих). Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить 3 настоящие монеты?

Может ли разность двух чисел вида  <i>n</i>² + 4<i>n</i>  (<i>n</i> – натуральное число) равняться 1998?

<b>Переливаем молоко.</b>Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4 литра с помощью пустых трехлитрового и пятилитрового бидонов.

Найдите сумму   1·1! + 2·2! + 3·3! + … + <i>n</i>·<i>n</i>!.

Решите систему уравнений:

    <i>xy</i>(<i>x + y</i>) = 30

    <i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 35.

<b>Три попарно касающиеся окружности.</b>Из трех данных точек как из центров постройте три попарно касающиеся окружности.

Решите систему уравнений:

    ¹/_<i>x</i> + ¹/_<i>y</i> = 6,

    ¹/_<i>y</i> + ¹/_<i>z</i> = 4,

    ¹/_<i>z</i> + ¹/_<i>x</i> = 5.