Олимпиадные задачи из источника «1973 год» для 8 класса - сложность 2-3 с решениями

Лист клетчатой бумаги размером<i>N</i>×<i>N</i>раскрасили в<i>N</i>цветов. (Каждую клеточку закрасили одним из этих<i>N</i>цветов или не закрасили вообще). "Правильной" раскраской называется такая, что в каждом столбце и в каждой строке нет двух клеточек одинакового цвета. Можно ли докрасить лист "правильным" способом, если сначала было "правильно" закрашено а)<i>N</i>²- 1 клетка? б)<i>N</i>²- 2 клетки? в)<i>N</i>клеток?

На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее и наибольшее расстояние до границы кляксы. Среди всех наименьших расстояний выбрали наибольшее, а среди наибольших выбрали наименьшее и сравнили полученные два числа. Какую форму имеет клякса, если эти два числа равны между собой?

В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик <i>A</i> прыгает через кузнечика <i>B</i>, то после прыжка он оказывается от <i>B</i> на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?

а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры. б) Даны натуральные числа <i>k</i> и <i>n</i>, причём  1 < <i>k < n</i>.  Для какого наименьшего <i>m</i> верно следующее утверждение: при любой расстановке <i>m</i> ладей на доске размером <i>n×n</i> клеток можно выбрать <i>k</i> ладей из этих <i>m</i> так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?

а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?

Решите в натуральных числах уравнение  <i>n^x + n^y = n^z</i>.

Натуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 – совершенное:  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.)  Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.

<i>n</i> человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом <i>n</i>.

Квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  таков, что уравнение  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>  не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x</i>  также не имеет вещественных корней.

На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено<nobr>14 монет.</nobr>Эксперт обнаружил, что семь из<nobr>них —</nobr>фальшивые,<nobr>остальные —</nobr>настоящие, причём узнал, какие именно фальшивые, а<nobr>какие —</nobr>настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, а фальшивые легче настоящих. Эксперт хочет тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь доказать суду, что все обнаруженные им фальшивые монеты действительно фальшивые, а<nobr>остальные —</nobr>настоящие. Сможет ли он это сделать?

Дано <i>n</i> точек,  <i>n</i> > 4.  Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в любую другую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).

В прямоугольную таблицу из <i>m</i> строк и <i>n</i> столбцов записаны <i>mn</i> положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все <i>n</i> таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для

  а)  <i>m = n</i> = 2;

  б)  <i>m</i> = 2  и произвольного <i>n</i>;

  в) любых натуральных <i>m</i> и <i>n</i>.

Даны два взаимно простых натуральных числа <i>a</i> и <i>b</i>. Рассмотрим множество <i>M</i> целых чисел, представимых в виде  <i>ax + by</i>,  где <i>x</i> и <i>y</i> – целые неотрицательные числа.

  а) Каково наибольшее целое число <i>c</i>, не принадлежащее множеству <i>М</i>?

  б) Докажите, что из двух чисел <i>n</i> и  <i>с</i> – <i>n</i>  (где <i>n</i> – любое целое) одно принадлежит <i>М</i>, а другое нет.

Даны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Найдите наибольшее число <i>m</i>, обладающее таким свойством: какие бы <i>m</i> из данных чисел ни вычеркнуть, среди оставшихся  1000 – <i>m</i>  чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.

Между некоторыми из 2<i>n</i> городов установлено воздушное сообщение, причём каждый город связан (беспосадочными рейсами) не менее чем с <i>n</i> другими.

  а) Докажите, что если отменить любые  <i>n</i> – 1  рейсов, то всё равно из любого города можно добраться в любой другой на самолётах (с пересадками).

  б) Укажите все случаи, когда связность нарушается при отмене <i>n</i> рейсов.

Найдите все решения уравнения  ¹/_<i>x</i> + ¹/_<i>y</i> + ¹/_<i>z</i> = 1  в целых числах, отличных <nobr>от 1.</nobr>

На кафтане площадью 1 размещены<nobr>5 заплат,</nobr>площадь каждой из которых не<nobr>меньше ¹/₂.</nobr>Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не<nobr>меньше ¹/₅.</nobr>

Докажите, что если

  а) <i>a, b</i> и <i>c</i> – положительные числа, то   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73717/problem_73717_img_2.gif">   б) <i>a, b, c</i> и <i>d</i> – положительные числа,   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73717/problem_73717_img_3.gif">   в) <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i> – положительные числа  (<i>n</i> > 1),  то   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73717/problem_73717_img_4.gif">

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более <i>k</i>хорд, то сумма длин хорд меньше$\pi$<i>k</i>.

Найдите высоту трапеции, у которой основания равны <i>a</i> и <i>b</i> (<i>a</i> < <i>b</i>), угол между диагоналями равен <!-- MATH $90^{\circ}$ --> 90^<tt>o</tt>, а угол между продолжениями боковых сторон равен <!-- MATH $45^{\circ}$ --> 45^<tt>o</tt>.

На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.