Задача
В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более kхорд, то сумма длин хорд меньше$\pi$k.
Решение
Предположим, что сумма длин хорд не меньше$\pi$k, и докажем, что тогда найдется диаметр, пересекающий по крайней мереk+ 1 хорду. Так как длина дуги, стягиваемой хордой, больше длины этой хорды, то сумма длин дуг, стягиваемых данными хордами, больше$\pi$k. Если мы к этим дугам добавим еще и дуги, симметричные им относительно центра окружности, то сумма длин всех рассматриваемых дуг будет больше 2$\pi$k. Поэтому найдется точка, которую покрывает по крайней мереk+ 1 из этих дуг. Диаметр, проведенный через эту точку, пересекает по крайней мереk+ 1 хорду.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь