Олимпиадные задачи из источника «выпуск 12»
выпуск 12
НазадПо заданному ненулевому<i>x</i>значение<i>x</i><sup>8</sup>можно найти за три арифметических действия:<nobr><i>x</i><sup>2</sup> = <i>x</i> · <i>x</i>,</nobr><nobr><i>x</i><sup>4</sup> = <i>x</i><sup>2</sup> · <i>x</i><sup>2</sup>,</nobr><nobr><i>x</i><sup>8</sup> = <i>x</i><sup>4</sup> · <i>x</i><sup>4</sup>,</nobr>а<nobr><i>x</i><sup>15</sup> —</nobr>за пять действий: первые<nobr>три —</nobr>те же самые, затем<nobr><i>x</i><sup>8</sup> · <i>x<...
На плоскости даны две точки <i>A</i> и <i>B</i>. Пусть <i>C</i> – некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек <i>A</i> и <i>B</i>. Построим последовательность точек
<i>C</i><sub>1</sub> = <i>C, C</i><sub>2</sub>, <i>C</i><sub>3</sub>, ..., где <i>C</i><sub><i>n</i>+1</sub> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC<sub>n</sub></i>. При каком положении точки <i>C</i>
а) точка <i>C<sub>n</sub></i> попадёт в середину отрезка <i>AB</i> (при этом <i>C</i><sub><i>n</i>+1</sub> и дальнейшие члены последова...
Для любого натурального числа <i>n</i> сумма <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73773/problem_73773_img_2.gif"> делится <nobr>на 2<sup><i>n</i>–1</sup>. Докажите это. </nobr>
а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры. б) Даны натуральные числа <i>k</i> и <i>n</i>, причём 1 < <i>k < n</i>. Для какого наименьшего <i>m</i> верно следующее утверждение: при любой расстановке <i>m</i> ладей на доске размером <i>n×n</i> клеток можно выбрать <i>k</i> ладей из этих <i>m</i> так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?