Олимпиадные задачи из источника «выпуск 8»

Король обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательно соединив центры полей, которые он проходил, получилась замкнутая ломаная без самопересечений. Какую наименьшую и какую наибольшую длину может она иметь? (Сторона клетки равна единице.)

В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

  а) <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃, <i>x</i>₄, <i>x</i>₅ – положительные числа. Докажите, что квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений <i>x</i>₁<i>x</i>₂, <i>x</i>₂<i>x</i>₃, <i>x</i>₃<i>x</i>₄, <i>x</i>₄<i>x</i>₅ и <i>x</i>₅<i>x</i>₁.

  б) Пр...

<i>n</i> человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом <i>n</i>.

Даны выпуклый<i>n</i>-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка <i>O</i>внутри его. Докажите, что через точку <i>O</i>нельзя провести более <i>n</i>прямых, каждая из которых делит площадь<i>n</i>-угольника пополам.