Задача
Найдите высоту трапеции, у которой основания равны a и b (a < b), угол между диагоналями равен 90o, а угол между продолжениями боковых сторон равен 45o.
Решение
Пусть BC и AD — основания данной трапеции ABCD, BC = a, AD = b. Обозначим боковые стороны трапеции AB = x, CD = y, а высоту — h.
Через вершину B проведём прямую, параллельную боковой стороне CD, до пересечения с основанием AD в точке K. Удвоенная площадь треугольника ABC равна
xy sin 45o = (b - a)h.
По теореме косинусов из этого треугольника находим, что
(b - a)2 = x2 + y2 - 2xy cos 45o.
ПустьM— точка пересечения диагоналей трапеции. По теореме
Пифагора из прямоугольных треугольниковAMB,BMC,CMDиAMDнаходим, что
x2 + y2 = (AM2 + BM2) + (CM2 + DM2) =
= (AM2 + DM2) + (BM2 + CM2) = a2 + b2.
Таким образом, имеем уравнение
(a - b)2 = a2 + b2 - 2(b - a)h,
из которого находим, чтоh=${\frac{ab}{b-a}}$.
Ответ
${\frac{ab}{b-a}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет