Олимпиадные задачи из источника «выпуск 1»
выпуск 1
НазадНа кафтане площадью 1 размещены<nobr>5 заплат,</nobr>площадь каждой из которых не<nobr>меньше <sup>1</sup>/<sub>2</sub>.</nobr>Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не<nobr>меньше <sup>1</sup>/<sub>5</sub>.</nobr>
Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73719/problem_73719_img_2.gif">
Докажите, что если
а) <i>a, b</i> и <i>c</i> – положительные числа, то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73717/problem_73717_img_2.gif"> б) <i>a, b, c</i> и <i>d</i> – положительные числа, <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73717/problem_73717_img_3.gif"> в) <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> – положительные числа (<i>n</i> > 1), то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73717/problem_73717_img_4.gif">
Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см?
(Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться <nobr>на 90° и 180°, но ломать её нельзя.)</nobr>
Найдите высоту трапеции, у которой основания равны <i>a</i> и <i>b</i> (<i>a</i> < <i>b</i>), угол между диагоналями равен <!-- MATH $90^{\circ}$ --> 90<sup><tt>o</tt></sup>, а угол между продолжениями боковых сторон равен <!-- MATH $45^{\circ}$ --> 45<sup><tt>o</tt></sup>.