Первое решение. Предположим противное, то есть, что расстояние между любыми двумя точками поверхности нашего 19-гранника не больше 21.Тогдаэтот многогранник лежит внутри сферы радиуса 11, концентричной сфере радиуса 10, а каждая его грань лежит между сферами.Поэтомуплощадь каждой грани не слишком велика, а именно, не превосходит площади круга, радиус которого равен$\sqrt{11^2-10^2}$ = $\sqrt{21}$. В нашем многограннике 19 граней, поэтому площадьSего поверхности не превосходит 19·π·21 = 399π. Но многогранник описан около сферы радиуса 10.Отсюдаплощадь его поверхности больше площади поверхности этой сферы 4π·10². Итак, с одной стороны,S< 399π, с другой стороны,S> 400π. Полученное противоречие и решает задачу. В этом (нестрогом) решении мы пропустили доказательства трёх утверждений, которые начинаются с трёх выделенных выше курсивом слов:тогда, поэтому, отсюда. Мы оставляем читателю эти простые доказательства, но хотим предупредить, что хотя третье утверждение легко доказывается для выпуклого многогранника с помощью сравнения его объёма с объёмом сферы (действительно, объём многоугольника равен${\frac{RS}{3}}$, гдеR— радиус вписанной сферы, aS— площадь его поверхности), тем не менее интуитивно ясное и правильное утверждение о том, что наш многогранник выпуклый, трудно доказать строго, так как само строгое определение многогранника весьма сложно. (Загляните, например, в книгу И. Лакатоса "Доказательства и опровержения" М., "Наука", 1967).

Второе решение.Поставим более общий вопрос: какое наименьшее число граней может иметь многогранник, описанный около сферы радиусаrи целиком лежащий в концентрической с ней сфере радиусаR>r. (Вот житейская ситуация, которая подсказала автору эту задачу: каким наименьшим числом прямолинейных взмахов ножа можно срезать верхний слой кожуры апельсина, не срезав при этом ни одного куска сердцевины? Очевидно, что после срезания всего верхнего слоя кожуры остаток будет многогранником, так как на его поверхности не будет ни одного закругленного участка, так что этот вопрос эквивалентен предыдущему.) Мы не знаем точного ответа на этот более общий вопрос, но докажем для числа граней некоторое неравенство, которое приr= 10,R= 11 показывает, чтоN> 22. Тем самым мы докажем, что если в условии задачи вместо 19-гранника взять 22-гранник, то утверждение задачи по-прежнему останется справедливым. Итак, пустьN-гранник описан около сферы радиусаrи целиком лежит внутри сферы радиуса R. Рассмотрим какую-нибудь его грань. Проходящая через неё плоскость отрезает от сферы шапочку (сегментную поверхность) высотыR-r. Ясно, что если построить шапочки для всех граней нашего многогранника, то их объединение покроет всю внешнюю сферу. Каждая изNшапочек есть сегментная поверхность высотыR−r, и, следовательно, имеет площадь 2π·R(R−r). Сумма площадей всех шапочек больше площади сферы. ПоэтомуN·2πR(R−r) > 4πR², отсюдаN>${\frac{2R}{R-r}}$, в частности, приR= 11,r= 10 получаемN> 22. Интересно, что по любому набору шапочек, целиком покрывающих внешнюю сферу, можно построить многогранник, описанный около внутренней сферы. (Докажите!) Поэтому наш вопрос про минимальное число граней полностью эквивалентен следующему вопросу. Каково минимальное числоN=N(h) шапочек высотыh, целиком покрывающих сферу радиуса 1? (В исходной задачеh=${\frac{1}{11}}$.) Очевидно, чтоN(h) >${\frac{2}{h}}$, но это неравенство отражает просто тот факт, что сумма площадей шапочек больше площади сферы, в то время как интуитивно ясно, что приh< 1 шапочки должны довольно сильно перекрываться. И действительно, можно доказать, что при достаточно малыхhN(h) > 1, 2${\frac{2}{h}}$. Попробуйте сами доказать, например, что приh< 1

Ответ задачи отсутствует