Олимпиадные задачи из источника «1970 год» - сложность 2 с решениями
Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.
Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.
Из цифр 1 и 2 составили пять <i>n</i>-значных чисел так, что у каждых двух чисел совпали цифры ровно в <i>m</i> разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Докажите, что отношение <sup><i>m</i></sup>/<sub><i>n</i></sub> не меньше ⅖ и не больше ⅗.
Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?
Докажите, что если выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i> можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то <i>ABCD</i> – трапеция или параллелограмм.
Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.
Окружность касается стороны <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> в точке <i>M</i>, а продолжений сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> — в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается стороны <i>BC</i> в точке <i>K</i>, а стороны <i>AB</i> — в точке <i>L</i>. Докажите, что:
а) отрезок <i>AP</i> равен полупериметру <i>p</i> треугольника <i>ABC</i>;
б) <i>BM</i> = <i>CK</i>;
в) <i>BC</i> = <i>PL</i>.
На дуге <i>BC</i> окружности, описанной около равностороннего треугольника <i>ABC</i>, взята произвольная точка <i>P</i>. Докажите, что <i>AP = BP + CP</i>.
По кругу расставлено девять чисел – четыре единицы и пять нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают.
Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?