а) Найдём сначала сумму вида   1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + (n – 1)n.

  Заметим, что   3k(k + 1) = k(k + 1)(k + 2) – (k – 1)k(k + 1).   Сложив эти равенства по k от 1 до  n – 1,  получим, что

     3(1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + (n – 1)n = (n – 1)n(n + 1).

  Вернёмся к решению задачи.

     1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1 = (n·n – (n – 1)n) + (n(n – 1) – (n – 2)(n – 1)) + (n(n – 2) – (n – 3)(n – 2)) + ... + n·1 =        б) Заметим, что  

  Расположим в ряд  n + k  шаров. Каждое слагаемое вида     представляет собой число выборок по 2k шаров из этого ряда, но не всех возможных, а таких, когда сперва выбирают k из первых  k + m  шаров, а затем ещё k шаров из оставшихся  n – m.

  Суммирование таких слагаемых по m от 0 до  n – k  можно интерпретировать так: сначала вставим в ряд шаров перегородку, слева и справа от которой находится не менее, чем по k шаров, а потом выберем k шаров слева и k шаров справа от нее.

  Вместо этого можно поступить по-другому: возьмём ряд из  n + k + 1  шара и выберем  2k + 1  из них; затем средний из выбранных шаров заменим перегородкой.

  Отсюда ясно, что     и, следовательно,  

а)    б)