Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Площадь» - сложность 4 с решениями

а) Четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата (рис.). Докажите, что площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника. б) Докажите, что площадь двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56814/problem_56814_img_2.gif" border="1"></div>

Стороны <i>AB</i>и <i>CD</i>параллелограмма <i>ABCD</i>площади 1 разбиты на <i>n</i>равных частей, <i>AD</i>и <i>BC</i> — на <i>m</i>равных частей. а) Точки деления соединены так, как показано на рис., <i>а</i>. б) Точки деления соединены так, как показано на рис., <i>б</i>. Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких параллелограммов?

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56813/problem_56813_img_2.gif" border="1"></div>

Медианы <i>AA</i>₁и <i>CC</i>₁треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что если четырехугольник <i>A</i>₁<i>BC</i>₁<i>M</i>описанный, то <i>AB</i>=<i>BC</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁и на сторонах <i>AB</i>и <i>AC</i>взяты точки <i>K</i>и <i>L</i>так, что <i>AK</i>=<i>BC</i>₁и <i>AL</i>=<i>CB</i>₁. Докажите, что прямая <i>AO</i>, где <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, делит отрезок <i>KL</i>пополам.

На сторонах<i>BC</i>и<i>DC</i>параллелограмма<i>ABCD</i>выбраны точки<i>D</i>₁и<i>B</i>₁так, что<i>BD</i>₁=<i>DB</i>₁. Отрезки<i>BB</i>₁и<i>DD</i>₁пересекаются в точке<i>Q</i>. Докажите, что<i>AQ</i>— биссектриса угла<i>BAD</i>.

Докажите, что если никакие стороны четырехугольника не параллельны, то середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей (<i>прямая Гаусса</i>).

Через точку <i>M</i>, лежащую внутри параллелограмма <i>ABCD</i>, проведены прямые <i>PR</i>и <i>QS</i>, параллельные сторонам <i>BC</i>и <i>AB</i>(точки <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>и <i>S</i>лежат на сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>соответственно). Докажите, что прямые <i>BS</i>,<i>PD</i>и <i>MC</i>пересекаются в одной точке.

Многоугольник, описанный около окружности радиуса <i>r</i>, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше <i>r</i>.

Докажите, что площадь четырехугольника, диагонали которого не перпендикулярны, равна <i>tg</i>$\varphi$^.|<i>a</i>²+<i>c</i>²-<i>b</i>²-<i>d</i>²|/4, где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и <i>d</i> — длины последовательных сторон, $\varphi$ — угол между диагоналями.

Кривая $\Gamma$делит квадрат на две части равной площади. Докажите, что на ней можно выбрать две точки <i>A</i>и <i>B</i>так, что прямая <i>AB</i>проходит через центр <i>O</i>квадрата.

Точки <i>A</i>и <i>B</i>окружности <i>S</i>₁соединены дугой окружности <i>S</i>₂, делящей площадь круга, ограниченного <i>S</i>₁, на равные части. Докажите, что дуга <i>S</i>₂, соединяющая <i>A</i>и <i>B</i>, по длине больше диаметра <i>S</i>₁.

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.

Прямая <i>l</i> делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоугольника на прямую, перпендикулярную <i>l</i>, в отношении, не превосходящем  1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/56788/problem_56788_img_2.gif">.

На биссектрисе угла<i>A</i>треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>A</i>₁так, что <i>AA</i>₁=<i>p</i>-<i>a</i>= (<i>b</i>+<i>c</i>-<i>a</i>)/2, и через точку <i>A</i>₁проведена прямая <i>l</i>_a, перпендикулярная биссектрисе. Если аналогично провести прямые <i>l</i>_bи <i>l</i>_c, то треугольник <i>ABC</i>разобьется на части, среди которых четыре треугольника. Докажите, что площадь одного из этих треугольников равна сумме площадей трех других.

Через точку <i>O</i>, лежащую внутри треугольника <i>ABC</i>, проведены отрезки, параллельные сторонам. Отрезки <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁разбивают треугольник <i>ABC</i>на четыре треугольника и три четырехугольника (рис.). Докажите, что сумма площадей треугольников, прилегающих к вершинам <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>, равна площади четвертого треугольника.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56784/problem_56784_img_2.gif" border="1"></div>

Диагонали выпуклого четырёхугольника<i>ABCD</i>пересекаются в точке<i>O</i>;<i>P</i>и<i>Q</i>— произвольные точки. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{S_{AOP}}{S_{BOQ}}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{ACP}}{S_{BDQ}}}$^.$\displaystyle {\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}}$. </div>

Диаметр <i>PQ</i>и перпендикулярная ему хорда <i>RS</i>пересекаются в точке <i>A</i>. Точка <i>C</i>лежит на окружности, а точка <i>B</i> — внутри окружности, причем <i>BC</i>||<i>PQ</i>и <i>BC</i>=<i>RA</i>. Из точек <i>A</i>и <i>B</i>опущены перпендикуляры <i>AK</i>и <i>BL</i>на прямую <i>CQ</i>. Докажите, что <i>S</i>_ACK=<i>S</i>_BCL.

Середины диагоналей <i>AC</i>,<i>BD</i>,<i>CE</i>,... выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>образуют выпуклый шестиугольник. Докажите, что его площадь в четыре раза меньше площади исходного шестиугольника.

На сторонах <i>AB</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>взяты точки <i>E</i>и <i>F</i>. Пусть <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины отрезков <i>DE</i>,<i>BF</i>,<i>CE</i>и <i>AF</i>. Докажите, что четырехугольник <i>KLMN</i>выпуклый и его площадь не зависит от выбора точек <i>E</i>и <i>F</i>.

Продолжения сторон <i>AD</i>и <i>BC</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>O</i>; <i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон <i>AB</i>и <i>CD</i>, <i>P</i>и <i>Q</i> — середины диагоналей <i>AC</i>и <i>BD</i>. Докажите, что: а) <i>S</i>_PMQN= |<i>S</i>_ABD-<i>S</i>_ACD|/2; б) <i>S</i>_OPQ=<i>S</i>_ABCD/4.

Точки <i>K</i>и <i>M</i> — середины сторон <i>AB</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, точки <i>L</i>и <i>N</i>расположены на сторонах <i>BC</i>и <i>AD</i>так, что <i>KLMN</i> — прямоугольник. Докажите, что площадь четырехугольника <i>ABCD</i>вдвое больше площади прямоугольника <i>KLMN</i>.

На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна стороне параллелограмма.

В выпуклом четырехугольнике <i>ABCD</i>существуют три внутренние точки <i>P</i>₁,<i>P</i>₂,<i>P</i>₃, не лежащие на одной прямой и обладающие тем свойством, что сумма площадей треугольников <i>ABP</i>_iи <i>CDP</i>_iравна сумме площадей треугольников <i>BCP</i>_iи <i>ADP</i>_iдля <i>i</i>= 1, 2, 3. Докажите, что <i>ABCD</i> — параллелограмм.

Диагонали четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>P</i>, причем <i>S</i>_ABP²+<i>S</i>_CDP²=<i>S</i>_BCP²+<i>S</i>_ADP². Докажите, что <i>P</i> — середина одной из диагоналей.

На сторонах треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, делящие его стороны в отношениях <i>BA</i>₁:<i>A</i>₁<i>C</i>=<i>p</i>,<i>CB</i>₁:<i>B</i>₁<i>A</i>=<i>q</i>и <i>AC</i>₁:<i>C</i>₁<i>B</i>=<i>r</i>. Точки пересечения отрезков <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁расположе...