Задача
Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.
Решение
Пусть r1,...,rn — радиусы вписанных окружностей полученных треугольников, P1,...,Pn — их периметры, a S1,...,Sn — площади. Площадь и периметр исходного многоугольника обозначим через Sи Pсоответственно. Ясно, что Pi<P(см. задачу 9.27, б)). Поэтому
r1 + ... + rn = 2$\displaystyle {\frac{S_1}{P_1}}$ + ... + 2$\displaystyle {\frac{S_n}{P_n}}$ > 2$\displaystyle {\frac{S_1}{P}}$ + ... + 2$\displaystyle {\frac{S_n}{P}}$ = 2$\displaystyle {\frac{S}{P}}$ = r.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет