Олимпиадные задачи по математике
Дан неравнобедренный остроугольный треугольник <i>ABC, BB</i><sub>1</sub> – его симедиана, луч <i>BB</i><sub>1</sub> вторично пересекает описанную окружность Ω в точке <i>L</i>. Пусть <i>H<sub>A</sub>, H<sub>B</sub>, H<sub>C</sub></i> – основания высот треугольника <i>ABC</i>, а луч <i>BH<sub>B</sub></i> вторично пересекает Ω в точке <i>T</i>. Докажите, что точки <i>H<sub>A</sub>, H<sub>C</sub>, T, L</i> лежат на одной окружности.
Многоугольник, описанный около окружности радиуса <i>r</i>, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше <i>r</i>.