Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Площади частей, на которые разбит четырехугольник»
параграф 4. Площади частей, на которые разбит четырехугольник
НазадПусть <i>K, L, M, N</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>; отрезки <i>KM</i> и <i>LN</i> пересекаются в точке <i>O</i>.
Докажите, что <i>S<sub>AKON</sub> + S<sub>CLOM</sub> = S<sub>BKOL</sub> + S<sub>DNOM</sub></i>.
Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей равны, то равны и площади всех четырех частей.
Точки <i>K</i>и <i>M</i> — середины сторон <i>AB</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, точки <i>L</i>и <i>N</i>расположены на сторонах <i>BC</i>и <i>AD</i>так, что <i>KLMN</i> — прямоугольник. Докажите, что площадь четырехугольника <i>ABCD</i>вдвое больше площади прямоугольника <i>KLMN</i>.
На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна стороне параллелограмма.
Каждая из сторон выпуклого четырехугольника разделена на пять равных частей и соответствующие точки противоположных сторон соединены (см. рис.). Докажите, что площадь среднего (заштрихованного) четырехугольника в 25 раз меньше площади исходного.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56772/problem_56772_img_2.gif" border="1"></div>
На стороне <i>AB</i>четырехугольника <i>ABCD</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>и <i>B</i><sub>1</sub>, а на стороне <i>CD</i> — точки <i>C</i><sub>1</sub>и <i>D</i><sub>1</sub>, причем <i>AA</i><sub>1</sub>=<i>BB</i><sub>1</sub>=<i>pAB</i>и <i>CC</i><sub>1</sub>=<i>DD</i><sub>1</sub>=<i>pCD</i>, где <i>p</i>< 0, 5. Докажите, что <i>S</i><sub>A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub></sub>/<i>S</i><sub>ABCD</sub>= 1 - 2<...
На сторонах <i>AB</i>и <i>CD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>взяты точки <i>M</i>и <i>N</i>так, что <i>AM</i>:<i>MB</i>=<i>CN</i>:<i>ND</i>. Отрезки <i>AN</i>и <i>DM</i>пересекаются в точке <i>K</i>, а отрезки <i>BN</i>и <i>CM</i> — в точке <i>L</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>KMLN</sub>=<i>S</i><sub>ADK</sub>+<i>S</i><sub>BCL</sub>.
Точки <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>параллелограмма <i>ABCD</i>, причем отрезки <i>KM</i>и <i>LN</i>параллельны сторонам параллелограмма. Эти отрезки пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что площади параллелограммов <i>KBLO</i>и <i>MDNO</i>равны тогда и только тогда, когда точка <i>O</i>лежит на диагонали <i>AC</i>.