Задачи и олимпиады по математике

Диагонали выпуклого четырёхугольникаABCDпересекаются в точкеO;PиQ— произвольные точки. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{S_{AOP}}{S_{BOQ}}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{ACP}}{S_{BDQ}}}$^.$\displaystyle {\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}}$.

Ясно, что${\frac{S_{CBD}}{S_{ABD}}}$=${\frac{CO}{AO}}$. Прибавив к обеим частям этого равенства 1, получим

$\displaystyle {\frac{S_{ABCD}}{S_{ABD}}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{AO}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{ACP}}{S_{AOP}}}$.1)

Аналогично доказывается, что

$\displaystyle {\frac{S_{ABCD}}{S_{ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{BD}{BO}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{BDQ}}{S_{BOQ}}}$.2)

Поделив равенство (2) на (1), получаем требуемое.

Ответ задачи отсутствует