Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Площадь» - сложность 2-4 с решениями

Точка <i>O</i>, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.

Пусть <i>K, L, M, N</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>; отрезки <i>KM</i> и <i>LN</i> пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что   <i>S_AKON + S_CLOM = S_BKOL + S_DNOM</i>.

а) Четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата (рис.). Докажите, что площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника. б) Докажите, что площадь двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56814/problem_56814_img_2.gif" border="1"></div>

Стороны <i>AB</i>и <i>CD</i>параллелограмма <i>ABCD</i>площади 1 разбиты на <i>n</i>равных частей, <i>AD</i>и <i>BC</i> — на <i>m</i>равных частей. а) Точки деления соединены так, как показано на рис., <i>а</i>. б) Точки деления соединены так, как показано на рис., <i>б</i>. Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких параллелограммов?

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56813/problem_56813_img_2.gif" border="1"></div>

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади исходного треугольника.

Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.

Медианы <i>AA</i>₁и <i>CC</i>₁треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что если четырехугольник <i>A</i>₁<i>BC</i>₁<i>M</i>описанный, то <i>AB</i>=<i>BC</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁и на сторонах <i>AB</i>и <i>AC</i>взяты точки <i>K</i>и <i>L</i>так, что <i>AK</i>=<i>BC</i>₁и <i>AL</i>=<i>CB</i>₁. Докажите, что прямая <i>AO</i>, где <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, делит отрезок <i>KL</i>пополам.

На сторонах<i>BC</i>и<i>DC</i>параллелограмма<i>ABCD</i>выбраны точки<i>D</i>₁и<i>B</i>₁так, что<i>BD</i>₁=<i>DB</i>₁. Отрезки<i>BB</i>₁и<i>DD</i>₁пересекаются в точке<i>Q</i>. Докажите, что<i>AQ</i>— биссектриса угла<i>BAD</i>.

Докажите, что если никакие стороны четырехугольника не параллельны, то середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей (<i>прямая Гаусса</i>).

Через точку <i>M</i>, лежащую внутри параллелограмма <i>ABCD</i>, проведены прямые <i>PR</i>и <i>QS</i>, параллельные сторонам <i>BC</i>и <i>AB</i>(точки <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>и <i>S</i>лежат на сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>соответственно). Докажите, что прямые <i>BS</i>,<i>PD</i>и <i>MC</i>пересекаются в одной точке.

Многоугольник, описанный около окружности радиуса <i>r</i>, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше <i>r</i>.

Расстояния от точки <i>X</i>стороны <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>до прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>равны <i>d</i>_bи <i>d</i>_c. Докажите, что <i>d</i>_b/<i>d</i>_c=<i>BX</i>^.<i>AC</i>/(<i>CX</i>^.<i>AB</i>).

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

Дан выпуклый многоугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_n. На стороне <i>A</i>₁<i>A</i>₂взяты точки <i>B</i>₁и <i>D</i>₂, на стороне <i>A</i>₂<i>A</i>₃ — точки <i>B</i>₂и <i>D</i>₃и т. д. таким образом, что если построить параллелограммы <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁,...

Даны (2<i>n</i>- 1)-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_{2n - 1}и точка <i>O</i>. Прямые <i>A</i>_k<i>O</i>и <i>A</i>_{n + k - 1}<i>A</i>_{n + k}пересекаются в точке <i>B</i>_k. Докажите, что произведение отношений <i>A</i>_{n + k - 1}<i>B</i>_k/<i>A</i>_{n + k}<i>B</i>_k(<i>k</i>= 1,...,<i>n</i>) равно 1.

Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>O</i>; прямые <i>AO</i>,<i>BO</i>и <i>CO</i>пересекают его стороны в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что: а) ${\frac{OA_1}{AA_1}}$+${\frac{OB_1}{BB_1}}$+${\frac{OC_1}{CC_1}}$= 1; б) ${\frac{AC_1}{C_1B}}$^.${\frac{BA_1}{A_1C}}$^.${\frac{CB_1}{B_1A}}$= 1.

Докажите, что длина биссектрисы <i>AD</i>треугольника <i>ABC</i>равна ${\frac{2bc}{b+c}}$cos${\frac{\alpha }{2}}$.

Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произвольно внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).

Докажите, что площадь четырехугольника, диагонали которого не перпендикулярны, равна <i>tg</i>$\varphi$^.|<i>a</i>²+<i>c</i>²-<i>b</i>²-<i>d</i>²|/4, где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и <i>d</i> — длины последовательных сторон, $\varphi$ — угол между диагоналями.

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>, $\varphi$ — угол между его диагоналями. Докажите, что площадь <i>S</i>четырехугольника <i>ABCD</i>равна 2<i>R</i>²sin <i>A</i>sin <i>B</i>sin$\varphi$.

Диагонали четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>P</i>. Расстояния от точек <i>A</i>,<i>B</i>и <i>P</i>до прямой <i>CD</i>равны <i>a</i>,<i>b</i>и <i>p</i>. Докажите, что площадь четырехугольника <i>ABCD</i>равна <i>ab</i>^.<i>CD</i>/2<i>p</i>.

Кривая $\Gamma$делит квадрат на две части равной площади. Докажите, что на ней можно выбрать две точки <i>A</i>и <i>B</i>так, что прямая <i>AB</i>проходит через центр <i>O</i>квадрата.

Точки <i>A</i>и <i>B</i>окружности <i>S</i>₁соединены дугой окружности <i>S</i>₂, делящей площадь круга, ограниченного <i>S</i>₁, на равные части. Докажите, что дуга <i>S</i>₂, соединяющая <i>A</i>и <i>B</i>, по длине больше диаметра <i>S</i>₁.

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.

б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.