Задача
Окружность радиусаrс центромC, лежащим на большей полуоси эллипса, касается эллипса в двух точках;O — центр эллипса,aиb — его полуоси. Докажите, что
OC2 = $\displaystyle {\frac{(a^2-b^2)(b^2-r^2)}{b^2}}$.
Решение
Нормаль к эллипсу в точке (x0,y0) задается уравнением
$\displaystyle {\frac{-y_0}{b^2}}$x + $\displaystyle {\frac{x_0}{a^2}}$y = x0y0$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{b^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}}\right)$.
Она пересекает большую полуось в точке с координатой
x1 = b2x0$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{b^2}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2}}\right)$ = x0$\displaystyle {\frac{a^2-b^2}{a^2}}$.
При этом
r2 = y02 + x02$\displaystyle {\frac{b^4}{a^4}}$ = b2 - b2x02$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a^2}-\frac{b^2}{a^4}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a^2}}$ - $\displaystyle {\frac{b^2}{a^4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a^2}-\frac{b^2}{a^4}}\right)$.
Легко проверить, что
$\displaystyle {\frac{(a^2-b^2)(b^2-r^2)}{b^2}}$ = x12.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет