Задача
а) Докажите, что отношение расстояний от точки эллипса до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету e. б) Даны точкаFи прямаяl. Докажите, что множество точекX, для которых отношение расстояния отXдоFк расстоянию отXдоlравно постоянному числуe< 1, — эллипс.
Решение
а) Пустьd=a/e. Тогдаde2=${\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}}$ . ${\dfrac{a^2-b^2}{a^2}}$=c, при этом величинаd— расстояние от начала координат до директрисы. Проверим, что множество точекX= (x,y), для которых отношение расстояния до фокуса (c, 0) к расстоянию до директрисыx=dравно e, т. е. множество точек, задаваемых уравнением
| $\displaystyle {\frac{(x_1-c)^2+x_2^2}{(x_1-d)^2}}$ = e2, | (*) |
есть эллипс. Равенство (*) при условии, чтоc=de2, эквивалентно равенству
$\displaystyle {\frac{x^2}{d^2e^2}}$ + $\displaystyle {\frac{y^2}{d^2e^2(1-e^2)}}$ = 1,
совпадающему с каноническим уравнением эллипса, так какd2e2=a2,d2e2(1 -e2) =b2.
б) Пусть прямаяlзадана уравнениемx=d, а точкаFимеет координаты (c, 0). Тогда рассматриваемому множеству принадлежат две
точки с координатами (x, 0), удовлетворяющими уравнению${\dfrac{x-c}{x-d}}$= ±e. Поместим начало координат посредине между этими
точками. Тогда
$\displaystyle {\frac{de+c}{1+e}}$ + $\displaystyle {\frac{-de+c}{1-e}}$ = 0,
т. е.c=de2. В таком случае уравнение (*) эквивалентно каноническому уравнению эллипса.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет