Задача
К эллипсу с центромOпроведены две параллельные касательныеl1иl2. Окружность с центромO1касается (внешним образом) эллипса и прямыхl1иl2. Докажите, что длина отрезкаOO1равна сумме полуосей эллипса.
Решение
Пусть$\varphi$— угол между любой из рассматриваемых касательных и осьюOx. Рассмотрим окружность Sс центром((a+b)cos$\varphi$,(a+b)sin$\varphi$), проходящую через точкуA= (acos$\varphi$,bsin$\varphi$). Касательная к эллипсу в точкеAзадается уравнением
$\displaystyle {\frac{a\cos\varphi}{a^2}}$x + $\displaystyle {\frac{b\sin\varphi}{b^2}}$y = 1.
Эта прямая перпендикулярна прямойAO1, которая задается
уравнением
y = $\displaystyle {\frac{a\sin\varphi}{b\cos\varphi}}$x + c.
Поэтому окружностьSкасается эллипса.
Докажем теперь, что окружностьSкасается прямыхl1иl2.
Пусть прямаяl1касается эллипса в точке(-acos$\alpha$,bsin$\alpha$).
Тогда она имеет уравнение
$\displaystyle {\frac{-x\cos\alpha}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{y\sin\alpha}{b}}$ = 1.
Это, в частности, означает, чтоtg$\varphi$=${\dfrac{b\cos\alpha}{a\sin\alpha}}$. Квадрат
расстояния от начала координат до прямойl1равен
$\displaystyle {\frac{b^2}{\sin^2\alpha}}$ . $\displaystyle {\frac{1}{1+{\rm tg}^2\varphi}}$ = b2$\displaystyle {\frac{\cos^2\varphi}{\sin^2\alpha}}$ = b2cos2$\displaystyle \varphi$$\displaystyle \left(\vphantom{1+\frac{a^2\sin^2\varphi}{b^2\cos^2\varphi}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{a^2\sin^2\varphi}{b^2\cos^2\varphi}}$$\displaystyle \left.\vphantom{1+\frac{a^2\sin^2\varphi}{b^2\cos^2\varphi}}\right)$ = b2cos2$\displaystyle \varphi$ + a2sin2$\displaystyle \varphi$.
Последнее выражение совпадает с квадратом радиуса окружностиS.
Для прямойl2получаем точно такое же выражение.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет