Задача
Нормаль к эллипсу в точкеAпересекает малую полуось в точкеQ,P— проекция центра эллипса на нормаль. Докажите, чтоAP . AQ=a2, гдеa— большая полуось.
Решение
ТочкаQлежит на описанной окружности треугольникаAF1F2, гдеF1иF2— фокусы эллипса. При этомQ— середина дугиF1F2. ЕслиR— радиус описанной окружности,$\alpha$и$\beta$— углы при вершинахF1иF2, то
AQ = 2R cos$\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$, AP = 2R sin2$\displaystyle {\frac{\alpha+\beta}{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$.
Поэтому
AP . AQ = $\displaystyle \Bigl($2R sin$\displaystyle {\frac{\alpha+\beta}{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$$\displaystyle \Bigr)^{2}_{}$ = (R sin$\displaystyle \alpha$ + R cos$\displaystyle \alpha$)2 = $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{AF_1+AF_2}{2}}$$\displaystyle \Bigr)^{2}_{}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет