Задача
Докажите, что множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точекF1иF2— постоянная величина, есть эллипс.
Решение
Поместим начало координат посередине между точкамиF1иF2, осьOxнаправим по отрезкуF1F2, а осьOy— перпендикулярно осиOx. ПустьF1иF2имеют координаты (c, 0) и (-c, 0), соответственно, а сумма расстояний от точкиX= (x,y) доF1иF2равна 2a. Тогда
| $\displaystyle \sqrt{(x-c)^2+y^2}$ = 2a - $\displaystyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}$ $\displaystyle \rightarrow$ | |
| (x - c)2 + y2 = 4a2 - 4a$\displaystyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}$ + (x + c)2 + y2 $\displaystyle \rightarrow$ | |
| a$\displaystyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}$ = a2 + xc $\displaystyle \rightarrow$ | |
| a2(x2 + 2xc + c2) + a2y2 = a4 + 2a2xc + x2c2 $\displaystyle \rightarrow$ | |
| (a2 - c2)x2 + a2y2 = a2(a2 - c2). |
В итоге, обозначивb2=a2-c2, получаемx2/a2+y2/b2= 1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет