Эллипс и сумма расстояний до фокусов — олимпиадная задача по планиметр
Задача
Докажите, что множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точекF1иF2— постоянная величина, есть эллипс.
Решение
Поместим начало координат посередине между точкамиF1иF2, осьOxнаправим по отрезкуF1F2, а осьOy— перпендикулярно осиOx. ПустьF1иF2имеют координаты (c, 0) и (-c, 0), соответственно, а сумма расстояний от точкиX= (x,y) доF1иF2равна 2a. Тогда
| $\displaystyle \sqrt{(x-c)^2+y^2}$ = 2a - $\displaystyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}$ $\displaystyle \rightarrow$ | |
| (x - c)2 + y2 = 4a2 - 4a$\displaystyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}$ + (x + c)2 + y2 $\displaystyle \rightarrow$ | |
| a$\displaystyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}$ = a2 + xc $\displaystyle \rightarrow$ | |
| a2(x2 + 2xc + c2) + a2y2 = a4 + 2a2xc + x2c2 $\displaystyle \rightarrow$ | |
| (a2 - c2)x2 + a2y2 = a2(a2 - c2). |
В итоге, обозначивb2=a2-c2, получаемx2/a2+y2/b2= 1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет