Задача
Три окружности, центры которых лежат на большой оси эллипса, касаются эллипса. При этом окружность радиусаr2касается (внешним образом) окружностей радиусаr1иr3. Докажите, что
r1 + r3 = $\displaystyle {\frac{2a^2(a^2-2b^2)}{a^4}}$r2.
Решение
Согласно задаче 31.026
r1 + r2 = OC1 - OC2 = $\displaystyle {\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\sqrt{b^2-r_1^2}-\sqrt{b^2-r_2^2}}\right.$$\displaystyle \sqrt{b^2-r_1^2}$ - $\displaystyle \sqrt{b^2-r_2^2}$$\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{b^2-r_1^2}-\sqrt{b^2-r_2^2}}\right)$.
Это выражение можно преобразовать к виду
a4r21 - 2a2(a2 - 2b2)r1r2 + a4r22 - 4b4(a2 - b2) = 0.
Рассмотрим полученное выражение как квадратное уравнение
относительноr1. Оно имеет корниr1иr3, поэтому
r1 + r3 = $\displaystyle {\frac{2a^2(a^2-2b^2)}{a^4}}$r2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет