Сопряженные диаметры можно представить посредством диагоналей параллелограммаABCD, описанного вокруг эллипса с центромO. Пусть биссектрисы угловAOB,BOC,COD,DOAпересекают стороны этого параллелограмма в точкахA₁,B₁,C₁,D₁соответственно, а лучиOA₁,OB₁,OC₁,OD₁пересекают эллипс в точкахA₂,B₂,C₂,D₂. Тогда точкиA₂,B₂,C₂,D₂— центры рассматриваемых окружностей. Достаточно доказать, чтоA₂B₂C₂D₂— параллелограмм со сторонами, параллельными прямымACиBD. В самом деле, диагонали этого параллелограмма перпендикулярны, поэтому он — ромб. Согласно задаче 31.022радиус вписанной окружности такого ромба зависит только от эллипса и не зависит от положения ромба. Из параллельности прямыхA₂B₂иACследует, что радиус вписанной окружности ромба равен расстоянию от точкиA₂до прямойAC, т. е. он равен радиусу рассматриваемой окружности с центром A₂. Докажем, например, чтоA₂B₂||AC. Сначала заметим, чтоA₁B₁||AC, так как

Сделаем аффинное преобразование, переводящее рассматриваемые сопряженные диаметры в диаметры окружности. В таком случае образы прямыхA₁OиB₁Oбудут симметричны относительно прямойOB, поэтому образ прямойA₂B₂будут параллелен образу прямой AC.

Ответ задачи отсутствует