Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Окружности» для 8 класса - сложность 2-3 с решениями

Две окружности с центрами <i>O</i>₁и <i>O</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Через точку <i>A</i>проведена прямая, пересекающая первую окружность в точке <i>M</i>₁, а вторую в точке <i>M</i>₂. Докажите, что $\angle$<i>BO</i>₁<i>M</i>₁=$\angle$<i>BO</i>₂<i>M</i>₂.

Три окружности попарно касаются внешним образом в точках <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>ABC</i>перпендикулярна всем трем окружностям.

Две окружности, вписанные в сегмент <i>AB</i> данной окружности, пересекаются в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i> проходит через середину <i>C</i> дополнительной дуги данного сегмента <i>AB</i>.

Из точки <i>D</i>окружности <i>S</i>опущен перпендикуляр <i>DC</i>на диаметр <i>AB</i>. Окружность <i>S</i>₁касается отрезка <i>CA</i>в точке <i>E</i>, а также отрезка <i>CD</i>и окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>DE</i> — биссектриса треугольника <i>ADC</i>.

Хорда <i>AB</i>разбивает окружность <i>S</i>на две дуги. Окружность <i>S</i>₁касается хорды <i>AB</i>в точке <i>M</i>и одной из дуг в точке <i>N</i>. Докажите, что: а) прямая <i>MN</i>проходит через середину <i>P</i>второй дуги; б) длина касательной <i>PQ</i>к окружности <i>S</i>₁равна <i>PA</i>.

Точки <i>C</i>и <i>D</i>лежат на окружности с диаметром <i>AB</i>. Прямые <i>AC</i>и <i>BD</i>, <i>AD</i>и <i>BC</i>пересекаются в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что <i>AB</i>$\perp$<i>PQ</i>.

Даны окружность <i>S</i>и прямая <i>l</i>, не имеющие общих точек. Из точки <i>P</i>, движущейся по прямой <i>l</i>, проводятся касательные <i>PA</i>и <i>PB</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что все хорды <i>AB</i>имеют общую точку.

На продолжении хорды <i>KL</i>окружности с центром <i>O</i>взята точка <i>A</i>, и из нее проведены касательные <i>AP</i>и <i>AQ</i>; <i>M</i> — середина отрезка <i>PQ</i>. Докажите, что $\angle$<i>MKO</i>=$\angle$<i>MLO</i>.

Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности с центром <i>O</i>. Через точку <i>X</i>отрезка <i>BC</i>проведена прямая <i>KL</i>, перпендикулярная <i>XO</i>(точки <i>K</i>и <i>L</i>лежат на прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>). Докажите, что <i>KX</i>=<i>XL</i>.

Три окружности радиуса <i>R</i>проходят через точку <i>H</i>; <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i> — точки их попарного пересечения, отличные от <i>H</i>. Докажите, что: а) <i>H</i> — точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>; б) радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>тоже равен <i>R</i>.

а) Три окружности с центрами <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, касающиеся друг друга и прямой <i>l</i>, расположены так, как показано на рис. Пусть <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i> — радиусы окружностей с центрами <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>. Докажите, что 1/$\sqrt{c}$= 1/$\sqrt{a}$+ 1/$\sqrt{b}$. б) Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках). Пусть <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — их радиусы, $\alpha$= 1/<i>a</i>,$\beta$= 1/<i>b</i>,$\gamma$= 1/<i>c</i>и $\delta$= 1/<i>d</i>. Докажите, что2($\alpha^{2}{}$+$\beta^{2}{}$+$\gamma^{2}_{}$+$\delta^{2}$...

Даны четыре окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃и <i>S</i>₄, причем окружности <i>S</i>_iи <i>S</i>_{i + 1}касаются внешним образом для <i>i</i>= 1, 2, 3, 4 (<i>S</i>₅=<i>S</i>₁). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырехугольник.

На отрезке <i>AB</i>взята точка <i>C</i>. Прямая, проходящая через точку <i>C</i>, пересекает окружности с диаметрами <i>AC</i>и <i>BC</i>в точках <i>K</i>и <i>L</i>, а окружность с диаметром <i>AB</i> — в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что <i>KM</i>=<i>LN</i>.

Радиусы окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂, касающихся в точке <i>A</i>, равны <i>R</i>и <i>r</i>(<i>R</i>><i>r</i>). Найдите длину касательной, проведенной к окружности <i>S</i>₂из точки <i>B</i>окружности <i>S</i>₁, если известно, что <i>AB</i>=<i>a</i>. (Разберите случаи внутреннего и внешнего касания.)

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂касаются окружности <i>S</i>внутренним образом в точках <i>A</i>и <i>B</i>, причем одна из точек пересечения окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂лежит на отрезке <i>AB</i>. Докажите, что сумма радиусов окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂равна радиусу окружности <i>S</i>.

Две касающиеся окружности с центрами <i>O</i>₁и <i>O</i>₂касаются внутренним образом окружности радиуса <i>R</i>с центром <i>O</i>. Найдите периметр треугольника <i>OO</i>₁<i>O</i>₂.

Три окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂и <i>S</i>₃попарно касаются друг друга в трех различных точках. Докажите, что прямые, соединяющие точку касания окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂с двумя другими точками касания, пересекают окружность <i>S</i>₃в точках, являющихся концами ее диаметра.

Даны окружность <i>S</i>, точки <i>A</i>и <i>B</i>на ней и точка <i>C</i>хорды <i>AB</i>. Для каждой окружности <i>S'</i>, касающейся хорды <i>AB</i>в точке <i>C</i>и пересекающей окружность <i>S</i>в точках <i>P</i>и <i>Q</i>, рассмотрим точку <i>M</i>пересечения прямых <i>AB</i>и <i>PQ</i>. Докажите, что положение точки <i>M</i>не зависит от выбора окружности <i>S'</i>.

Даны окружность <i>S</i>и точки <i>A</i>и <i>B</i>вне ее. Для каждой прямой <i>l</i>, проходящей через точку <i>A</i>и пересекающей окружность <i>S</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>, рассмотрим описанную окружность треугольника <i>BMN</i>. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку, отличную от точки <i>B</i>.

В параллелограмме <i>ABCD</i>диагональ <i>AC</i>больше диагонали <i>BD</i>; <i>M</i> — такая точка диагонали <i>AC</i>, что четырехугольник <i>BCDM</i>вписанный. Докажите, что прямая <i>BD</i>является общей касательной к описанным окружностям треугольников <i>ABM</i>и <i>ADM</i>.

Через точку <i>P</i>, лежащую на общей хорде <i>AB</i>двух пересекающихся окружностей, проведены хорда <i>KM</i>первой окружности и хорда <i>LN</i>второй окружности. Докажите, что четырехугольник <i>KLMN</i>вписанный.

Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами <i>R</i>и <i>r</i>пересекает их общие внешние касательные в точках <i>A</i>и <i>B</i>и касается одной из окружностей в точке <i>C</i>. Докажите, что <i>AC</i>^.<i>CB</i>=<i>Rr</i>.

Четырехугольник <i>ABCD</i>обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол <i>BAD</i>и касающаяся продолжений сторон <i>BC</i>и <i>CD</i>. Докажите, что <i>AB</i>+<i>BC</i>=<i>AD</i>+<i>DC</i>.

На основании <i>AB</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>E</i>, и в треугольники <i>ACE</i>и <i>ECB</i>вписаны окружности, касающиеся отрезка <i>CE</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Найдите длину отрезка <i>MN</i>, если известны длины отрезков <i>AE</i>и <i>BE</i>.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i>касается стороны <i>BC</i>в точке <i>K</i>, а вневписанная — в точке <i>L</i>. Докажите, что <i>CK</i>=<i>BL</i>= (<i>a</i>+<i>b</i>-<i>c</i>)/2, где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины сторон треугольника.