Олимпиадные задачи из источника «глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия» для 4-9 класса - сложность 1-4 с решениями
глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия
НазадПрямоугольник покрыт в два слоя карточками1×2 (над каждой клеткой лежат ровно две карточки). Докажите, что карточки можно разбить на два непересекающихся множества, каждое из которых покрывает весь прямоугольник.
Прямоугольник размером2<i>n</i>×2<i>m</i>замостили костями домино1×2. Докажите, что на этот слой костей можно положить второй слой так, что ни одна кость второго слоя не совпадает с костью первого слоя.
Вырежьте из обычной шахматной доски одну клетку так, чтобы оставшуюся часть можно было замостить плитками размером1×3.
Из шахматной доски со стороной а) 2<sup>n</sup>; б) 6<i>n</i>+ 1 выброшена одна клетка. Докажите, что оставшуюся часть доски можно замостить плитками, изображенными на рис. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58277/problem_58277_img_2.gif" border="1"></div>
Прямоугольник размером<i>m</i>×<i>n</i>замощен плитками, изображенными на рис. Докажите, что<i>m</i>и<i>n</i>делятся на 4.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58276/problem_58276_img_2.gif" border="1"></div>
Замостите обычную шахматную доску плитками, изображенными на рис.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58275/problem_58275_img_2.gif" border="1"></div>
Длина проекции фигуры$\Phi$на любую прямую не превосходит 1. Верно ли, что$\Phi$можно накрыть кругом диаметра: а) 1; б) 1,5?
Прожектор освещает угол величиной90<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что в любых четырех заданных точках можно разместить 4 прожектора так, что они осветят всю плоскость.
Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Докажите, что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные на них как на диаметрах, полностью покроют весь пятиугольник.
Отрезок длиной 1 покрыт несколькими лежащими на нем отрезками. Докажите, что среди них можно выбрать несколько попарно непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше 0,5.
На отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, полностью его покрывающих. Докажите, что можно выбросить некоторые из них так, чтобы оставшиеся по-прежнему покрывали отрезок и сумма их длин не превосходила 2.
Докажите, что плоскость можно разбить на отрезки.
Докажите, что круг можно разбить на отрезки.
Докажите, что треугольник можно разбить на отрезки.
Докажите, что четырехугольник (с границей и внутренностью) можно разбить на отрезки, т. е. представить в виде объединения непересекающихся отрезков.
Докажите, что для любого натурального<i>n</i>, где<i>n</i>$\ge$6, квадрат можно разрезать на<i>n</i>квадратов.
Докажите, что любой выпуклый<i>n</i>-угольник, где<i>n</i>$\ge$6, можно разрезать на выпуклые пятиугольники.
Можно ли невыпуклый четырехугольник разрезать двумя прямыми на 6 частей?
Докажите, что количество отрезков, на которые данные прямые разбиты точками их пересечения, равно-<i>n</i>+$\sum$$\lambda$(<i>P</i>).
Докажите, что при<i>n</i>$\ge$3 среди полученных частей не менее (2<i>n</i>- 2)/3 треугольников.
Докажите, что если среди полученных фигур есть<i>p</i>-звенная и <i>q</i>-звенная, то<i>p</i>+<i>q</i>$\le$<i>n</i>+ 4.
а) Докажите, что при<i>n</i>= 2<i>k</i>среди полученных фигур не более 2<i>k</i>- 1 углов. б) Может ли при<i>n</i>= 100 среди полученных фигур быть только три угла?
а) Найдите число всех полученных фигур. б) Найдите число ограниченных фигур, т. е. многоугольников.
Докажите, что при<i>n</i>= 4 среди полученных частей есть четырехугольник.
99 прямых разбивают плоскость на<i>n</i>частей. Найдите все возможные значения<i>n</i>, меньшие 199.