Олимпиадные задачи из источника «глава 2. Вписанный угол» - сложность 2 с решениями

Через вершины <i>A</i>и <i>B</i>треугольника <i>ABC</i>проведены две параллельные прямые, а прямые<i>m</i> и <i>n</i>симметричны им относительно биссектрис соответствующих углов. Докажите, что точка пересечения прямых<i>m</i> и <i>n</i>лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Пусть <i>H</i> — точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, а <i>AA'</i> — диаметр его описанной окружности. Докажите, что отрезок <i>A'H</i>делит сторону <i>BC</i>пополам.

а) На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>(или на их продолжениях) взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>AB</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>BC</i>₁и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>пересекаются в одной точке. б) Точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C&...

На сторонах треугольника <i>ABC</i>внешним образом построены треугольники <i>ABC'</i>,<i>AB'C</i>и <i>A'BC</i>, причем сумма углов при вершинах <i>A'</i>,<i>B'</i>и <i>C'</i>кратна 180^<tt>o</tt>. Докажите, что описанные окружности построенных треугольников пересекаются в одной точке.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>O</i>- центр описанной окружности четырехугольника<i>ABCD</i>. Докажите, что расстояние от точки <i>O</i>до стороны <i>AB</i>равно половине длины стороны <i>CD</i>.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Докажите, что площадь четырехугольника <i>ABCD</i>равна (<i>AB</i>^.<i>CD</i>+<i>BC</i>^.<i>AD</i>)/2.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Из вершин <i>A</i>и <i>B</i>опущены перпендикуляры на <i>CD</i>, пересекающие прямые <i>BD</i>и <i>AC</i>в точках <i>K</i>и <i>L</i>соответственно. Докажите, что <i>AKLB</i> — ромб.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>O</i>- центр описанной окружности четырехугольника<i>ABCD</i>.<i>P</i>- точка пересечения диагоналей. Найдите сумму квадратов диагоналей, если известны длина отрезка <i>OP</i>и радиус окружности <i>R</i>.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>P</i>- точка пересечения диагоналей. Известен радиус описанной окружности <i>R</i>. а) Найдите <i>AP</i>²+<i>BP</i>²+<i>CP</i>²+<i>DP</i>². б) Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника <i>ABCD</i>.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Докажите, что ломаная <i>AOC</i>делит <i>ABCD</i>на две фигуры равной площади.

Дан треугольник <i>ABC</i>. На его стороне <i>AB</i>выбирается точка <i>P</i>и через нее проводятся прямые <i>PM</i>и <i>PN</i>, параллельные <i>AC</i>и <i>BC</i>соответственно (точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>BC</i>и <i>AC</i>); <i>Q</i> — точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>APN</i>и <i>BPM</i>. Докажите, что все прямые <i>PQ</i>проходят через фиксированную точку.

Докажите, что в любом треугольнике <i>ABC</i>биссектриса <i>AE</i>лежит между медианой <i>AM</i>и высотой <i>AH</i>.

Известно, что в некотором треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины <i>C</i>, делят угол на четыре равные части. Найдите углы этого треугольника.

а) Стороны угла с вершиной <i>C</i>касаются окружности в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Из точки <i>P</i>, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры <i>PA</i>₁,<i>PB</i>₁и <i>PC</i>₁на прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>. Докажите, что <i>PC</i>₁²=<i>PA</i>₁^.<i>PB</i>₁и<i>PA</i>₁:<i>PB</i>₁=<i>PB</i>²:<i>PA</i>². б...

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>с острым углом при вершине <i>A</i>. На лучах <i>AB</i>и <i>CB</i>отмечены точки <i>H</i>и <i>K</i>соответственно так, что <i>CH</i>=<i>BC</i>и <i>AK</i>=<i>AB</i>. Докажите, что: а) <i>DH</i>=<i>DK</i>; б) $\triangle$<i>DKH</i>$\sim$$\triangle$<i>ABK</i>.

Прямая, проходящая через вершину <i>C</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>, пересекает основание <i>AB</i>в точке <i>M</i>, а описанную окружность в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>CM</i>^.<i>CN</i>=<i>AC</i>²и <i>CM</i>/<i>CN</i>=<i>AM</i>^.<i>BM</i>/(<i>AN</i>^.<i>BN</i>).

На сторонах <i>BC</i>и <i>CD</i>квадрата <i>ABCD</i>взяты точки <i>E</i>и <i>F</i>так, что $\angle$<i>EAF</i>= 45^<tt>o</tt>. Отрезки <i>AE</i>и <i>AF</i>пересекают диагональ <i>BD</i>в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что <i>S</i>_AEF/<i>S</i>_APQ= 2.

На дуге <i>BC</i>окружности, описанной около равностороннего треугольника <i>ABC</i>, взята произвольная точка <i>P</i>. Отрезки <i>AP</i>и <i>BC</i>пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что 1/<i>PQ</i>= 1/<i>PB</i>+ 1/<i>PC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>проведена высота <i>AH</i>, а из вершин <i>B</i>и <i>C</i>опущены перпендикуляры <i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁на прямую, проходящую через точку <i>A</i>. Докажите, что $\triangle$<i>ABC</i>$\sim$$\triangle$<i>HB</i>₁<i>C</i>₁.

Прямая <i>l</i>касается окружности с диаметром <i>AB</i>в точке <i>C</i>;<i>M</i>и <i>N</i> — проекции точек <i>A</i>и <i>B</i>на прямую <i>l</i>,<i>D</i> — проекция точки <i>C</i>на <i>AB</i>. Докажите, что <i>CD</i>²=<i>AM</i>^.<i>BN</i>.

На окружности даны точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>, причем точка <i>B</i>более удалена от прямой <i>l</i>, касающейся окружности в точке <i>A</i>, чем <i>C</i>. Прямая <i>AC</i>пересекает прямую, проведенную через точку <i>B</i>параллельно <i>l</i>, в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>AB</i>²=<i>AC</i>^.<i>AD</i>.

Продолжения сторон <i>AB</i>и <i>CD</i>вписанного четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>P</i>, а продолжения сторон <i>BC</i>и <i>AD</i> — в точке <i>Q</i>. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов <i>AQB</i>и <i>BPC</i>со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.

Внутри квадрата<i>ABCD</i>выбрана точка<i>M</i>так, что$\angle$<i>MAC</i>=$\angle$<i>MCD</i>=$\alpha$. Найдите величину угла<i>ABM</i>.

На хорде <i>AB</i> окружности <i>S</i> с центром <i>O</i> взята точка <i>C</i>. Описанная окружность треугольника <i>AOC</i> пересекает окружность <i>S</i> в точке <i>D</i>.

Докажите, что  <i>BC = CD</i>.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Из точки <i>A</i>к этим окружностям проведены касательные <i>AM</i>и <i>AN</i>(<i>M</i>и <i>N</i> — точки окружностей). Докажите, что: а) $\angle$<i>ABN</i>+$\angle$<i>MAN</i>= 180^<tt>o</tt>; б) <i>BM</i>/<i>BN</i>= (<i>AM</i>/<i>AN</i>)².