Задача
а) На сторонах BC,CAи ABтреугольника ABC(или на их продолжениях) взяты точки A1,B1и C1, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников AB1C1,A1BC1и A1B1Cпересекаются в одной точке. б) Точки A1,B1и C1перемещаются по прямым BC,CAи ABтак, что все треугольники A1B1C1подобны одному и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения описанных окружностей треугольников AB1C1,A1BC1и A1B1Cостается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными.)
Решение
а) Применяя утверждение задачи 2.79к треугольникам AB1C1,A1BC1и A1B1C, построенным на сторонах треугольника A1B1C1, получаем требуемое. б) Пусть P — точка пересечения указанных окружностей. Докажем, что величина угла $\angle$(AP,PC) постоянна. Так как $\angle$(AP,PC) =$\angle$(AP,AB) +$\angle$(AB,BC) +$\angle$(BC,PC), а угол $\angle$(AB,BC) постоянен, то остается проверить, что сумма $\angle$(AP,AB) +$\angle$(BC,PC) постоянна. Ясно, что $\angle$(AP,AB) +$\angle$(BC,CP) =$\angle$(AP,AC1) +$\angle$(CA1,CP) =$\angle$(B1P,B1C1) +$\angle$(B1A1,B1P) =$\angle$(B1A1,B1C1), а величина последнего угла постоянна по условию. Аналогично доказывается, что величины углов $\angle$(AP,PB) и $\angle$(BP,PC) постоянны. Следовательно, точка Pостается неподвижной.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь