Олимпиадные задачи из источника «глава 2. Вписанный угол» для 1-9 класса - сложность 2-3 с решениями

а) Из точки <i>A</i>проведены прямые, касающиеся окружности <i>S</i>в точках <i>B</i>и <i>C</i>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>и центр его вневписанной окружности, касающейся стороны <i>BC</i>, лежат на окружности <i>S</i>. б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины <i>B</i>и <i>C</i>любого треугольника <i>ABC</i>и центр <i>O</i>его вписанной окружности, высекает на прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>равные хорды.

Через вершины <i>A</i>и <i>B</i>треугольника <i>ABC</i>проведены две параллельные прямые, а прямые<i>m</i> и <i>n</i>симметричны им относительно биссектрис соответствующих углов. Докажите, что точка пересечения прямых<i>m</i> и <i>n</i>лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Пусть <i>H</i> — точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, а <i>AA'</i> — диаметр его описанной окружности. Докажите, что отрезок <i>A'H</i>делит сторону <i>BC</i>пополам.

Четыре прямые образуют четыре треугольника. а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (<i>точка Микеля</i>). б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка<i>X</i>. Прямые<i>AX</i>,<i>BX</i>и<i>CX</i>пересекают стороны треугольника в точках<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников<i>AB</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>BC</i>₁и<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>пересекаются в точке<i>X</i>, то<i>X</i> — точка пересечения высот треугольника<i>ABC</i>.

Точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁движутся по прямым<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>так, что все треугольники<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁подобны одному и тому же треугольнику (треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите, что треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры, восставленные из точек<i>A</i>₁,<i&...

а) На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>(или на их продолжениях) взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>AB</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>BC</i>₁и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>пересекаются в одной точке. б) Точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C&...

На сторонах треугольника <i>ABC</i>внешним образом построены треугольники <i>ABC'</i>,<i>AB'C</i>и <i>A'BC</i>, причем сумма углов при вершинах <i>A'</i>,<i>B'</i>и <i>C'</i>кратна 180^<tt>o</tt>. Докажите, что описанные окружности построенных треугольников пересекаются в одной точке.

а)<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Через вершины <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>проведены касательные к описанной окружности. Докажите, что образованный ими четырехугольник вписанный. б) Четырехугольник <i>KLMN</i>вписанный и описанный одновременно; <i>A</i>и <i>B</i> — точки касания вписанной окружности со сторонами <i>KL</i>и <i>LM</i>. Докажите, что <i>AK</i>^.<i>BM</i>=<i>r</i>², где <i>r</i> — радиус вписанной окружности.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>P</i>- точка пересечения диагоналей. Докажите, что середины сторон четырехугольника <i>ABCD</i>и проекции точки <i>P</i>на стороны лежат на одной окружности.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>P</i>- точка пересечения диагоналей. Докажите, что прямая, проведенная из точки <i>P</i>перпендикулярно <i>BC</i>, делит сторону <i>AD</i>пополам.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>O</i>- центр описанной окружности четырехугольника<i>ABCD</i>. Докажите, что расстояние от точки <i>O</i>до стороны <i>AB</i>равно половине длины стороны <i>CD</i>.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Докажите, что площадь четырехугольника <i>ABCD</i>равна (<i>AB</i>^.<i>CD</i>+<i>BC</i>^.<i>AD</i>)/2.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Из вершин <i>A</i>и <i>B</i>опущены перпендикуляры на <i>CD</i>, пересекающие прямые <i>BD</i>и <i>AC</i>в точках <i>K</i>и <i>L</i>соответственно. Докажите, что <i>AKLB</i> — ромб.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>O</i>- центр описанной окружности четырехугольника<i>ABCD</i>.<i>P</i>- точка пересечения диагоналей. Найдите сумму квадратов диагоналей, если известны длина отрезка <i>OP</i>и радиус окружности <i>R</i>.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>P</i>- точка пересечения диагоналей. Известен радиус описанной окружности <i>R</i>. а) Найдите <i>AP</i>²+<i>BP</i>²+<i>CP</i>²+<i>DP</i>². б) Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника <i>ABCD</i>.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Докажите, что ломаная <i>AOC</i>делит <i>ABCD</i>на две фигуры равной площади.

Продолжение биссектрисы <i>AD</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>E</i>. Из точки <i>D</i>на стороны <i>AB</i>и <i>AC</i>опущены перпендикуляры <i>DP</i>и <i>DQ</i>. Докажите, что <i>S</i>_ABC=<i>S</i>_APEQ.

Дан треугольник <i>ABC</i>. На его стороне <i>AB</i>выбирается точка <i>P</i>и через нее проводятся прямые <i>PM</i>и <i>PN</i>, параллельные <i>AC</i>и <i>BC</i>соответственно (точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>BC</i>и <i>AC</i>); <i>Q</i> — точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>APN</i>и <i>BPM</i>. Докажите, что все прямые <i>PQ</i>проходят через фиксированную точку.

Докажите, что в любом треугольнике <i>ABC</i>биссектриса <i>AE</i>лежит между медианой <i>AM</i>и высотой <i>AH</i>.

Известно, что в некотором треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины <i>C</i>, делят угол на четыре равные части. Найдите углы этого треугольника.

На высотах треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, делящие их в отношении 2 : 1, считая от вершины. Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁; <i>B</i>₂и <i>C</i>₂ — середины высоты <i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁. Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₂<i>C</i>₂$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>.

а) Стороны угла с вершиной <i>C</i>касаются окружности в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Из точки <i>P</i>, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры <i>PA</i>₁,<i>PB</i>₁и <i>PC</i>₁на прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>. Докажите, что <i>PC</i>₁²=<i>PA</i>₁^.<i>PB</i>₁и<i>PA</i>₁:<i>PB</i>₁=<i>PB</i>²:<i>PA</i>². б...

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>с острым углом при вершине <i>A</i>. На лучах <i>AB</i>и <i>CB</i>отмечены точки <i>H</i>и <i>K</i>соответственно так, что <i>CH</i>=<i>BC</i>и <i>AK</i>=<i>AB</i>. Докажите, что: а) <i>DH</i>=<i>DK</i>; б) $\triangle$<i>DKH</i>$\sim$$\triangle$<i>ABK</i>.