Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Вычисления и метрические соотношения» для 6-10 класса - сложность 4 с решениями

Пусть <i>A</i>₄ — ортоцентр треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃. Докажите, что существуют такие числа $\lambda_{1}^{}$,...,$\lambda_{4}^{}$, что <i>A</i>_i<i>A</i>_j²=$\lambda_{i}^{}$+$\lambda_{j}^{}$, причем, если треугольник не прямоугольный, то $\sum$(1/$\lambda_{i}^{}$) = 0.

Центры окружностей с радиусами 1, 3 и 4 расположены на сторонах <i>AD</i>и <i>BC</i>прямоугольника <i>ABCD</i>. Эти окружности касаются друг друга и прямых <i>AB</i>и <i>CD</i>так, как показано на рис. Докажите, что существует окружность, касающаяся всех этих окружностей и прямой <i>AB</i>.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57650/problem_57650_img_2.gif" border="1"></div>

На отрезке <i>AB</i>взята точка <i>C</i>и на отрезках <i>AC</i>,<i>BC</i>и <i>AB</i>как на диаметрах построены полуокружности, лежащие по одну сторону от прямой <i>AB</i>. Через точку <i>C</i>проведена прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, и в образовавшиеся криволинейные треугольники <i>ACD</i>и <i>BCD</i>вписаны окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂(рис.). Докажите, что радиусы этих окружностей равны.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57649/problem_57649_img_2.gif" border="1"></div>

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>отрезки <i>BO</i>и <i>CO</i>, где <i>O</i> — центр описанной окружности, продолжены до пересечения в точках <i>D</i>и <i>E</i>со сторонами <i>AC</i>и <i>AB</i>. Оказалось, что $\angle$<i>BDE</i>= 50^<tt>o</tt>и $\angle$<i>CED</i>= 30^<tt>o</tt>. Найдите величины углов треугольника <i>ABC</i>.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>с основанием <i>AC</i>угол при вершине <i>B</i>равен 20^<tt>o</tt>. На сторонах <i>BC</i>и <i>AB</i>взяты точки <i>D</i>и <i>E</i>соответственно так, что $\angle$<i>DAC</i>= 60^<tt>o</tt>и $\angle$<i>ECA</i>= 50^<tt>o</tt>. Найдите угол <i>ADE</i>.

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) <i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$= (<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²)/4<i>S</i>; б) <i>a</i>²<i>ctg</i>$\alpha$+<i>b</i>²<i>ctg</i>$\beta$+<i>c</i>²<i>ctg</i>$\gamma$= 4<i>S</i>.

Докажите, что если<div align="CENTER"> sin$\displaystyle \alpha$ + sin$\displaystyle \beta$ + sin$\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \sqrt{3}$(cos$\displaystyle \alpha$ + cos$\displaystyle \beta$ + cos$\displaystyle \gamma$), </div>то один из углов треугольника<i>ABC</i>равен60^<tt>o</tt>.

а) Докажите, что если для некоторого треугольника <i>p</i>= 2<i>R</i>+<i>r</i>, то этот треугольник прямоугольный. б) Докажите, что если <i>p</i>= 2<i>R</i>sin$\varphi$+<i>rctg</i>($\varphi$/2), то $\varphi$ — один из углов треугольника (предполагается, что 0 <$\varphi$<$\pi$).

Пусть <i>O</i> — центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что ${\frac{OA^2}{bc}}$+${\frac{OB^2}{ac}}$+${\frac{OC^2}{ab}}$= 1.

Докажите, что <i>a</i>(<i>b</i>+<i>c</i>) = (<i>r</i>+<i>r</i>_a)(4<i>R</i>+<i>r</i>-<i>r</i>_a) и <i>a</i>(<i>b</i>-<i>c</i>) = (<i>r</i>_b-<i>r</i>_c)(4<i>R</i>-<i>r</i>_b-<i>r</i>_c).