Пусть углы треугольника ABCравны 2$\alpha$, 2$\beta$и 2$\gamma$. Согласно задачам 12.36, а) и 12.37, б) r= 4Rsin$\alpha$sin$\beta$sin$\gamma$и r_a= 4Rsin$\alpha$cos$\beta$cos$\gamma$. Поэтому (r+r_a)(4R+r-r_a) = 16R²sin$\alpha$(sin$\beta$sin$\gamma$+ cos$\beta$cos$\gamma$)(1 + sin$\alpha$(sin$\beta$sin$\gamma$- cos$\beta$cos$\gamma$)) = 16R²sin$\alpha$cos($\beta$-$\gamma$)(1 - sin$\alpha$cos($\beta$+$\gamma$)) = 16R²sin$\alpha$cos($\beta$-$\gamma$)cos²$\alpha$. Остается заметить, что 4Rsin$\alpha$cos$\alpha$=aи 4Rsin($\beta$+$\gamma$)cos($\beta$-$\gamma$) = 2R(sin 2$\beta$+ sin 2$\gamma$) =b+c. Второе равенство доказывается аналогично.

Ответ задачи отсутствует