Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Вычисления и метрические соотношения» для 10-11 класса

В плоскости дан треугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃ и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃ проводятся прямые, образующие с &l...

Квадрат <i>ABCD</i>вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите геометрическое место середин отрезков <i>PQ</i>, где <i>P</i> — основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>D</i>на неподвижную прямую <i>l</i>, а <i>Q</i> — середина стороны <i>AB</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>C</i>прямой. Докажите, что при гомотетии с центром <i>C</i>и коэффициентом 2 вписанная окружность переходит в окружность, касающуюся описанной окружности.

Диаметры <i>AB</i>и <i>CD</i>окружности <i>S</i>перпендикулярны. Хорда <i>EA</i>пересекает диаметр <i>CD</i>в точке <i>K</i>, хорда <i>EC</i>пересекает диаметр <i>AB</i>в точке <i>L</i>. Докажите, что если <i>CK</i>:<i>KD</i>= 2 : 1, то <i>AL</i>:<i>LB</i>= 3 : 1.

Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.

а) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках (0, 0), (<i>x</i>₁,<i>y</i>₁) и (<i>x</i>₂,<i>y</i>₂) равна${\frac{1}{2}}$|<i>x</i>₁<i>y</i>₂–<i>x</i>₂<i>y</i>₁|. б) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках (<i>x</i>₁,<i>y</i>₁), (<i>x</i>₂,<i>y</i>₂) и (<i>x</i>₃,<i>y</i>₃) равна&lt...

Докажите, что расстояние от точки (<i>x</i>₀,<i>y</i>₀) до прямой<i>ax</i>+<i>by</i>+<i>c</i>= 0 равно${\frac{\vert ax_0+by_0+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}}$.

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> с основанием <i>BC</i> угол при вершине <i>A</i> равен 80°. Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>M</i> так, что ∠<i>MBC</i> = 30°  и  ∠<i>MCB</i> = 10°.  Найдите величину угла <i>AMC</i>.

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) <i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$= (<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²)/4<i>S</i>; б) <i>a</i>²<i>ctg</i>$\alpha$+<i>b</i>²<i>ctg</i>$\beta$+<i>c</i>²<i>ctg</i>$\gamma$= 4<i>S</i>.

Докажите, что медианы <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁треугольника <i>ABC</i>перпендикулярны тогда и только тогда, когда <i>a</i>²+<i>b</i>²= 5<i>c</i>².

Докажите, что: а) <i>m</i>_a²= (2<i>b</i>²+ 2<i>c</i>²-<i>a</i>²)/4; б) <i>m</i>_a²+<i>m</i>_b²+<i>m</i>_c²= 3(<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²)/4.